Dados dos números complejos, ¿cómo podemos demostrar la desigualdad dada?

Question

Si $|{z_1+z_2}|>|z_1-z_2|$ entonces demuestre que $-\frac{\pi}{2}<arg\frac{z_1}{z_2}<\frac{\pi}{2}$

---

Aquí está mi progreso:

elevando al cuadrado ambos lados de la desigualdad dada, y utilizando la propiedad de los números complejos:

sea z un número complejo cualquiera, entonces $|z|^2=z .\bar{z}$ , donde $\bar{z}$ denota el conjugado de z

así que, tenemos:

$(z_1+z_2)(\bar{z_1}+\bar{z_2})> (z_1-z_2)(\bar{z_1}-\bar{z_2})$

simplificando,

$2z_1\bar{z_2}+2z_2\bar{z_1}>0$
$\frac{z_1}{\bar{z_2}}>-\frac{z_2}{\bar{z_2}}$

Utilizando la forma euler y asumiendo el argumento de $z_1$ y $z_2$ para ser $\alpha$ y $\beta$ respectivamente, obtenemos después de simplificar:

$e^{2i\alpha}>-e^{2i\beta}$
resolviendo más allá obtenemos:

$e^{2i(\alpha-\beta)}>e^{-i\pi}$

Por lo tanto,

$\alpha-\beta>-\frac{\pi}{2}$

lo que nos da la mitad de la parte de la desigualdad que necesitamos demostrar (como $\alpha-\beta$ es el argumento de $\frac{z_1}{z_2}$ ) ¿Pero cómo demostraríamos la otra parte de la desigualdad?

Answer 1

Si $|z_1+z_2|>|z_1-z_2|$ entonces $\left|\frac{z_1}{z_2}+1\right|>\left|\frac{z_1}{z_2}-1\right|$ . En otras palabras, $\frac{z_1}{z_2}$ está más cerca de $1$ que a $-1$ Así, se puede escribir como $\rho\exp(i\theta)$ con $\theta\in\left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right)$ .

Esto puede justificarse analíticamente de la siguiente manera: si $\frac{z_1}{z_2}=a+bi$ con $a,b\in\Bbb R$ entonces \begin{align}|a+bi+1|>|a+bi-1|&\iff(a+1)^2+b^2>(a-1)^2+b^2\\&\iff2a>-2a\\&\iff a>0.\end{align} Por lo tanto, si $a+bi=\cos(\theta)+i\sin(\theta)$ siempre puedes elegir $\theta\in\left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right)$ .

Answer 2

Si $|{z_1+z_2}|>|z_1-z_2|$ entonces demuestre que $-\frac{\pi}{2}<arg\frac{z_1}{z_2}<\frac{\pi}{2}$

---

Definamos los números complejos $$z_1 = a+b i$$ $$ z_2 = p+q i$$ $$|{z_1+z_2}| \gt |z_1-z_2|$$ $$| (a+p) +(b+q)i | \gt | (a-p)+(b-q)i |$$ $$\sqrt{ (a+p)^2+(b+q)^2 } \gt \sqrt{ (a-p)^2+(b-q)^2} $$ $$(a+p)^2+(b+q)^2 \gt (a-p)^2+(b-q)^2$$ $$a^2+2ap+p^2+b^2+2bq+q^2 \gt a^2-2ap+p^2+b^2-2bq+q^2$$ $$2ap +2bq \gt -2ap -2bq$$ Ver que $|z_1+z_2| \gt |z_1-z_2|$ no es una condición, sino ya un hecho

Ahora para el argumento del número complejo $$ arg( \frac{z_1}{z_2} ) = arg( \frac{ap+bq}{p^2+q^2} +\frac{bp-aq}{p^2+q^2} \cdot i )$$ $$ = \tan^{-1}( \frac{bp-aq}{ap+bq} )$$ Ya conocemos las propiedades de la función arctan y su rango es $$-\frac{\pi}{2} \lt \tan^{-1}(x) \lt \frac{\pi}{2}$$