Demostrar/desmentir: existe una transformación lineal sobreyectiva de matrices complejas 2x2 simétricas a matrices complejas 2x2 simétricas

Question

Encontrar una transformación lineal suryente $T:V\to W$ , como $V=\{A \in M_2(\mathbb{C})|A=-A^t \}, W= \{A\in M_2(\mathbb{C})|A=A^t \}$

En palabras $V$ son matrices complejas de 2x2 con simetría sesgada $W$ son matrices complejas simétricas de 2x2

Estoy muy confundido con esta pregunta ya que creo que como $\dim(V)=\dim(W)$ debe haber tal transformación lineal, pero realmente no puedo averiguarlo. El hecho de que esta transformación lineal esté por encima de $\mathbb{C}$ probablemente cambia la respuesta, pero no puedo encontrar ningún ejemplo.

Answer 1

Tal transformación no puede existir, porque tenemos $\dim(V)=1$ y $\dim(W)=3$ por Dimensiones de las matrices simétricas y asimétricas (también podría construir bases usted mismo para ver esto en el $2\times 2$ caso). Para una transformación sobreyectiva $T:V\to W$ para que exista, requerimos que $\dim(V)\geq \dim(W)$ .