¿De cuántas formas se pueden repartir las primas entre los empleados?

Question

¿De cuántas maneras se pueden dividir 33 000 USD entre 22 empleados de una empresa (incluyendo 1 presidente, 1 vicepresidente y 20 empleados normales), si un empleado normal puede recibir 1000 o 1500 USD, mientras que el presidente y el vicepresidente pueden recibir 0, 1500 o 3000 USD?

Answer 1

Suponiendo que tengamos que distribuir todo $33,000, the fact that each normal employee gets$ 1.000 o $1,500 means we have to distribute at least$ 3.000 a los ejecutivos.

Como hay tres formas de distribuir $3,000 to our executives, that leaves exactly$ 30.000 para distribuir entre los empleados. Eso sólo puede ocurrir de una manera, cada uno recibe 1.500 dólares.

Como hay dos formas de distribuir $4,500 to our executives, that leaves $ \ de la que se ha hecho cargo. $ ways to distribute 3$ de 1.000 dólares y 17 de 1.500 dólares entre los 20 empleados.

Como sólo hay una forma de distribuir $6,000 to our executives, that leaves $ \ de 20 a 14 años de edad. $ ways to distribute 6$ Las primas de 1.000 euros y 14 primas de 1.500 euros entre los 20 empleados.

Por lo tanto, el total es $$3\binom{20}{20}+2\binom{20}{17}+\binom{20}{14}=3+2280+38,760=41,043.$$

Answer 2

Has etiquetado esto como funciones generadoras, así que también proporcionaré la función generadora. Como cada empleado normal puede recibir 1000 o 1500, tenemos $e(x) = (x^{1000} + x^{1500})$ . Hay 20 empleados de este tipo, por lo que consideramos $(e(x))^{20}$ . Ahora los ejecutivos pueden conseguir $0, 1000, 1500$ , por lo que tenemos $f(x) = (1 + x^{1500} + x^{3000})$ . Hay dos ejecutivos, por lo que consideramos $(f(x))^{2}$ . Ahora nuestra función generadora es $g(x) = (e(x))^{20} * (f(x))^{2}$ . Se puede tener en cuenta $x^{20000}$ de $(e(x))^{20}$ , lo que hace que se busque el coeficiente de $x^{13000}$ en lugar de $x^{33000}$ .