Relación entre la varianza y las distancias por pares dentro de una variable

Question

Por favor, demuestre que si tenemos dos variables (con igual tamaño de muestra) $X$ y $Y$ y el desviación en $X$ es mayor que en $Y$ entonces el suma de diferencias al cuadrado (es decir, las distancias euclidianas al cuadrado) entre puntos de datos dentro de $X$ también es mayor que el de $Y$ .

Answer 1

Sólo para dar una respuesta "oficial", para complementar las soluciones esbozadas en los comentarios, observe

1. Ninguno de $\operatorname{Var} ((X_i))$ , $\operatorname{Var} ((Y_i))$ , $\sum_{i,j}(X_i-X_j)^2$ o $\sum_{i,j} (Y_i-Y_j)^2$ se modifican desplazando todos los $X_i$ uniformemente a $X_i-\mu$ para alguna constante $\mu$ o cambiar todo $Y_i$ a $Y_i-\nu$ para alguna constante $\nu$ . Por lo tanto, podemos suponer que estos cambios se han realizado para hacer $\sum X_i = \sum Y_i = 0$ De ahí que $\operatorname{Var}((X_i)) = \sum X_i^2$ y $\operatorname{Var}((Y_i)) = \sum Y_i^2$ .

2. Tras eliminar los factores comunes de cada lado y utilizar (1), la pregunta pide que se demuestre que $\sum X_i^2 \ge \sum Y_i^2$ implica $\sum_{i,j} (X_i-X_j)^2 \ge \sum_{i,j} (Y_i-Y_j)^2$ .

3. La simple expansión de los cuadrados y el reordenamiento de las sumas dan como resultado $$\sum_{i,j}(X_i-X_j)^2 = 2\sum X_i^2 - 2\left(\sum X_i\right)\left(\sum X_j\right) = 2\sum X_i^2 = 2\operatorname{Var}((X_i))$$ con un resultado similar para el $Y$ 's.

La prueba es inmediata.