Series de Fourier para $\cos^3(x)$

Question

Consideremos la conocida identidad trigonométrica: $\cos^3(x) = \frac{3}{4} \cos(x) + \frac{1}{4} \cos(3x)$

Demuestre que la identidad anterior puede interpretarse como una expansión en serie de Fourier.

por lo que sabemos que el cos es periódico entre $\pi$ y $-\pi$ y $\cos$ es una función par, por lo tanto, $\cos^3$ está en paz.

por lo que tenemos que calcular $a_0$ ( la integral de $f(x)$ y será igual a $0$ ) y $a_n$ ( la integral de $\pi$ a $-\pi$ de $\cos^3(x) \cos(nx)$ )

cómo calcular $a_0$

gracias

Answer 1

Recordemos: a partir de una identidad trigonométrica conocida,

$$\cos^3(x) = \cos(x)\color{blue}{\cos^2(x)} = \cos(x)\color{blue}{(1 - \sin^2(x))}$$

Así,

$$\int \cos^3(x)dx = \int (1-\sin^2(x))\cos(x)dx$$

Haga que el $u$ -sustitución $u = \sin(x), du = \cos(x)dx$ y deberías poder encontrar el resultado fácilmente. Debería obtener

$$\int \cos^3(x)dx = \sin(x) - \frac 1 3 \sin^3(x) + C$$

Aplicar el teorema fundamental del cálculo sobre los límites $0,\pi$ . Desde $\sin(n\pi) \equiv 0 \; \forall n \in \Bbb Z$ ,

$$\int_0^\pi \cos^3(x)dx = \sin(0) - \frac 1 3 \sin^3(0) - \left( \sin(\pi) - \frac 1 3 \sin^3(\pi) \right) = 0$$

y así, $a_0 = 0$ .

Answer 2

Utilizando el resultado dado en su pregunta, $$\begin{align}\int_{-\pi}^\pi\cos^3 x &= \int_{-\pi}^\pi\left(\frac34 \cos x + \frac 14 \cos 3x\right)\,dx\\ &=\left[\frac34\sin x+\frac1{12}\sin 3x\right]_{-\pi}^\pi\\ &=0\end{align}$$ desde $\sin$ de múltiplos de $\pi$ es igual a $0$ .

Answer 3

Sugerencia

Simplemente demuestre que $$\int_{0}^{2\pi}\cos^3 x\cos nx=\int_{0}^{2\pi}\cos^3 x\sin mx=0$$ para $n\ne 1,3$ . ¿Qué pasa con $n=1$ o $n=3$ ?