Variables aleatorias distribuidas conjuntamente

Question

Tengo una pregunta a continuación en la que estoy atascado.

Suponga que tiene diez bombillas, que la vida útil de cada una es independiente de todas las demás vida, y que cada vida tiene una distribución exponencial con el parámetro $\lambda$ .

a. ¿Cuál es la probabilidad de que las diez bombillas fallen antes de tiempo $t$ ?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente $k$ de las diez bombillas fallan antes de tiempo $t$ ?

c. Supongamos que nueve de las bombillas tienen tiempos de vida que se distribuyen exponencialmente con el parámetro $\lambda$ y que la bombilla restante tiene una vida que se distribuye exponencialmente con el parámetro $\theta$ (es de otro fabricante). ¿Cuál es la la probabilidad de que exactamente cinco de las diez bombillas fallen antes de tiempo $t$ ?

Para la parte a) obtuve que como las bombillas son independientes, la respuesta es $ (1-e^{-\lambda t})^{10}$ . Actualmente estoy atascado en b) y c) pero creo que la respuesta a b) tiene que incluir $ (1-e^{-\lambda t})^{k}$ y $ (e^{-\lambda t})^{k}$

Answer 1

Esencialmente hay que utilizar la distribución binomial.

Para b) $p=1-e^{-\lambda t}$ por lo que la probabilidad de que exactamente $k$ las bombillas fallan es $\binom{10}{k}p^k(1-p)^{10-k}$ .

Para c), se divide la probabilidad en dos partes (c1) la posibilidad de que la bombilla impar sea uno de los fallos y (c2) la posibilidad de que la bombilla impar no sea uno de los fallos. Como son mutuamente excluyentes, la probabilidad que necesitas es la suma de las dos. Sea $q=1-e^{-\theta t}$ la probabilidad de que la bombilla impar falle. Entonces c1) viene dado por $q\binom{9}{4}p^4(1-p)^5$ mientras que c2) viene dado por $(1-q)\binom{9}{5}p^5(1-p)^4$ . Suma estas probabilidades para obtener c). Para simplificar la aritmética, observe que $\binom{9}{4}=\binom{9}{5}$ .

Answer 2

Para la parte a) obtuve que como las bombillas son independientes, la respuesta es $ (1-e^{-\lambda t})^{10}$ .

Sí, es cierto.

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Actualmente estoy atascado en b) y c) pero creo que la respuesta a b) tiene que incluir $ (1-e^{-\lambda t})^{k}$ y $ (e^{-\lambda t})^{k}$

Sí, es casi hace.   Usted quiere la probabilidad de que un selección de $k$ de $10$ las bombillas fallan antes de $t$ y que el resto no.

$$\binom {10}k\cdot (1-e^{-\lambda})^k\cdot(e^{-\lambda})^{(10-k)}\cdot \mathbf 1_{0\leq k\leq 10}$$

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Ahora para (c), una pista: la partición de si los cinco fallos incluyen el $\theta$ -de la bombilla, y utilizar la Ley de la Probabilidad Total. Sea $N_\lambda$ contar la cantidad de fallos entre los nueve $\lambda$ -bombillas de tarifa, y $N_\theta$ los fracasos entre el $\theta$ -Tipo de bombilla. Usted busca:

$$\mathsf P(N_\lambda=5, N_\theta=0)+\mathsf P(N_\lambda=4, N_\theta=1)$$