Para cualquier $n\in \mathbb{N}$ dejar $f_n:\mathbb{R}\to [0,1]$ sea una función monótona creciente que cumpla $\lim\limits_{x\to -\infty} f_n(x)=0$ y $\lim\limits_{x\to \infty} f_n(x)=1$ . Además $f_n(x)\leq \frac{1}{2}$ para todos $x<0$ y $f_n(x)\geq \frac{1}{2}$ para todos $x\geq 0$ . $f_n$ al ser monótona también es diferenciable en casi todas partes y define una medida. ¿Puedo acotar $||f_n'||$ ¿de alguna manera?
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Depende de la norma que utilices.
Si se utiliza la norma uniforme, la respuesta es no. Tomemos $$f_n(x) = \frac{e^{nx}}{e^{nx} + 1}.$$
Tienes que $f_n'(0) = \frac{n}{2}$ que es claramente ilimitado.
Si está utilizando el $L^1$ norma, entonces se puede demostrar que $\|f_n'\| \leq 1$ Así que la respuesta es sí.
Eso depende de la norma que tengas en mente cuando dices $||f_n'||$ . Si $\mu_n$ es la medida "definida por" $f_n$ (es decir, $f(x)-f(-\infty)=\mu_n((-\infty,x))$ )) entonces la norma de variación total de $\mu_n$ es $$||\mu_n||=\mu_n(\Bbb R)=f_n(\infty)-f_n(-\infty)=1.$$ Y la derivada puntual es sólo la parte absolutamente continua de $\mu_n$ De ahí que el $L^1$ cumple la norma $$||f_n'||_1\le||\mu_n||=1.$$
