Propiedades de caracterización de los conjuntos numéricos $\mathbb{N},\mathbb{ Z},\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$

Question

Cuando se dice que una estructura está definida hasta el isomorfismo significa, en consecuencia, que se asumen ciertas propiedades que la hacen completamente determinada bajo ciertas operaciones y relaciones.

Así pues, me gustaría saber cuáles son las propiedades que caracterizan a los diferentes sistemas de números ( $\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$ ) hasta el isomorfismo con las operaciones de $+,\cdot$ y $\leq$ .

Para aclarar mi pregunta, por ejemplo supongo que el principio de inducción formaría parte de la caracterización $\mathbb{N}$ le propiedad del límite superior mínimo formaría parte de la caracterización $\mathbb{R}$ etc.

La cosa es que hay un montón de propiedades como estas y no está claro, al menos para mí, decidir cuáles son las principales y cuáles de ellas se pueden deducir y son redundantes, etc.

En otras palabras, me gustaría preguntar qué propiedades caracterizan a cada uno de los conjuntos $\mathbb{N},\mathbb{ Z},\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$ en función de sus operaciones y ordenaciones.

Answer 1

1. $\Bbb N$ es el único conjunto ordenado linealmente que es infinito, pero cada segmento inicial es finito; también es el conjunto más pequeño que contiene a $0,1$ y cerrado por adición que satisface el axioma $x+y=0\iff x=y=0$ .

2. $\Bbb Z$ es el conjunto linealmente ordenado más pequeño en el que las operaciones sucesor y predecesor están definidas en todas partes, y cada elemento es un sucesor.

3. $\Bbb Q$ es el campo más pequeño que satisface que $1+1+\ldots+1\neq 0$ . También es el campo más pequeño que se puede pedir.

4. $\Bbb R$ es el único campo ordenado que es Dedekind completo como conjunto ordenado.

5. $\Bbb C$ es el único campo algebraicamente cerrado que contiene $\Bbb Q$ y es equipotente con $\Bbb R$ . También es el cierre algebraico único de $\Bbb R$ .

Answer 2

La mayoría de estas cosas son distinguidos como inicial de los objetos en algunos categoría adecuada. No tengo mucha práctica con todas las declaraciones, así que pido disculpas por sus errores. La noción de "inicial" es sobre todo lo de ser "el más pequeño" significa, como en Asaf la respuesta.

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Cuando ellos se distinguen como inicial de los objetos de las categorías de anillo-como objetos con los pedidos

1. Creo $\Bbb N$ debe ser el objeto inicial de la categoría de totalmente ordenado semirings (con identidad). (Morfismos tendría que preservar $0$$1$.)

2. $\Bbb Z$ es inicial en la categoría de totalmente ordenado anillos. (Nos han dado bien el pedido de $\Bbb N$.)

3. $\Bbb Q$ es inicial en la categoría de totalmente ordenado campos. (Nos han dado "discreto" de $\Bbb Z$ en el siguiente sentido: dado cualquier punto del conjunto ordenado, no hay por lo menos un punto estrictamente encima o a un mayor punto estrictamente por debajo de ella.)

4. $\Bbb R$ es inicial en la categoría de totalmente ordenado campos con la menor cota superior de la propiedad, pero resulta ser una decepción, ya que es el único anillo. (Nos han dado los "agujeros" que existía en $\Bbb Q$. Cada subconjunto ahora tiene al menos un límite superior. )

5. Cuando llegamos a $\Bbb C$ tenemos un problema porque $\Bbb C$ no está disponible. No estoy al tanto de cualquier categóricamente manera razonable para seguir describiendo $\Bbb C$ con el programa de las categorías con los objetos pedidos. $\Bbb R$ parece haber alcanzado un ápice de total-orderedness y continuidad, y se parece a $\Bbb C$ ha ido fuera de los límites.

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¿Y si sólo prestamos atención a la orden?

1. $\Bbb N$ es inicial en la categoría de conjuntos con un distinguido y un punto a la función sucesor. (Este es un ejercicio de MacLane del CFTWM.)

2. No estoy seguro, pero creo $\Bbb Z$ es inicial en la categoría de conjuntos con un distinguido y un punto a la función sucesor y el predecesor de la función. (Voy a ver si de una variante de MacLane del ejercicio trabaja fuera de este.) Después de este punto abandonamos sucesores y predecesores y cambie a la llanura de la orden.

3. Podríamos esperar que $\Bbb Q$ es inicial en la categoría de totalmente de conjuntos ordenados con un distinguido punto; sin embargo, no estoy totalmente convencido de que esto es cierto. Se siente incluso si hemos tenido un fin de preservar y distinguido punto de preservar mapa de $\Bbb Q$ a otro conjunto, tal vez usted puede "escala" del mapa para obtener una diferente. (Cuando estamos trabajando con los anillos, el extra algebraicas estructura elimina este problema.)

4. $\Bbb R$ está en un estado similar como $\Bbb Q$, ya que no está claro que es la inicial en la categoría de completar totalmente de conjuntos ordenados.

5. $\Bbb C$ aún carece de un orden natural, y aún tendríamos problemas similares a los de $\Bbb Q$$\Bbb R$.

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¿Y si sólo prestamos atención a que el anillo-como la estructura?

1. $\Bbb N$ es inicial en la categoría de semirings (con identidad).

2. $\Bbb Z$ es inicial en la categoría de anillos (con identidad).

3. $\Bbb Q$ es inicial en la categoría de característica $0$ campos.

4. no parece probable que $\Bbb R$ es de carácter puramente algebraica caracterización, teniendo en cuenta su construcción inherentemente referencias propiedades topológicas.

5. Dado $\Bbb R$, $\Bbb C$ ¿ tiene el algebraicas distinción de ser el único algebraica de extensión de campo de $\Bbb R$ otros de $\Bbb R$ sí. De hecho hay una categoría de campo de extensiones de $\Bbb R$, pero esta vez $\Bbb C$ no es inicial. En realidad parece ser terminal en esta categoría. Al parecer, entonces es inicial en la frente categoría :)

6. Por último, dado que cualquier anillo conmutativo $K$ (como un campo), $K$ está destinada a ser la inicial en la categoría de asociativa $K$ álgebras con la identidad.