Aplicaciones de la transformada binomial.

Question

Recientemente me he encontrado con la transformada binomial:

La transformada binomial, $T$ de una secuencia, ${a_n}$ es la secuencia ${s_n}$ definido por

$$ s_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}a_{k} $$

Esta transformación tiene la bonita propiedad de que es autoinversa. Ahora estoy tratando de encontrar algunas aplicaciones simples o ejercicio en esta herramienta en particular.

¿Se puede utilizar la Transformada de Fourier aplicándola a ambos lados de una ecuación para simplificar los cálculos y luego invirtiéndola se encuentra la solución? O realmente cualquier aplicación me resultaría interesante.

Answer 1

La transformada binomial suele emplearse para la aceleración de series o, en sentido contrario, para simplificar la estructura de los términos de una serie hipergeométrica (o retorcido series hipergeométricas, según la terminología introducida aquí ). Además de la aplicación conocida Como mencioné en los comentarios, también conduce a interesantes identidades relacionadas con las sumas de Euler, como la siguiente: $$ \zeta(2) = \sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^2} = \sum_{n\geq 1}\frac{H_n}{n 2^{n-1}}.$$ Se pueden encontrar más ejemplos en las primeras páginas de mis notas .

Answer 2

En el contexto de la OEIS la transformación binomial se define por $\;B(a_n):=\sum_{k=0}^n{n \choose k}\:a_k.$ Esta transformación puede ser iterada. La transformación con signo definida por $S(a_n):=(-1)^n\:a_n\;$ puede componerse con la transformada binomial (ya sea antes o después) para producir una transformación autoinversa (o una involución) como la que has propuesto.

Como ejemplo, $T(L_n) = L_n$ donde $L$ es el Secuencia de números Lucas . La búsqueda en la OEIS se obtienen muchos otros ejemplos de transformadas binomiales combinadas con o sin la transformada con signo.