$W_{0}^{2}(\Omega)=\{ f\in W_{0}^{1}(\Omega):\Delta f\in L^{2}(\Omega)\}?$

Question

Dejemos que $\Omega\subset\mathbb{R}^{n}$ sea un dominio abierto y acotado. Sea $W^{2}\left(\Omega\right)$ sea el espacio de Sobolev habitual $$W^{2}\left(\Omega\right)=\left\{ f\in L^{2}\left(\Omega\right):f,\partial_{i}f,\partial_{ij}^{2}f\in L^{2}\left(\Omega\right)\right\} .$$ Dejemos que $W_{0}^{2}\left(\Omega\right)$ sea el cierre de $C_{0}^{\infty}\left(\Omega\right)$ por ejemplo $W^{2}\left(\Omega\right)$ -normas en $W^{2}\left(\Omega\right)$ .

Pregunta: ¿es cierto que $$W_{0}^{2}\left(\Omega\right)=\left\{ f\in W_{0}^{1}\left(\Omega\right):\Delta f\in L^{2}\left(\Omega\right)\right\} ?$$ Es decir, el Laplaciano controla $\partial_{ij}^{2}$ en $L^{2}\left(\Omega\right)$ .

Answer 1

No, este espacio no es el mismo que $W_0^2$ . Tenga en cuenta que $W_0^2$ y $W_0^1 \cap W^2$ son espacios diferentes. En $W_0^2$ adicionalmente la información que $\nabla f \in (H_0^1(\Omega))^n$ es decir, que las primeras derivadas desaparecen en la frontera de $\partial \Omega$ en algún sentido (con el operador de traza, por lo que tenemos $\text{Tr}(\nabla f) = \partial_\nu f=0$ donde $\nu$ es una normal exterior al dominio suficientemente suave $\Omega$ ).

Pierdes esta importante propiedad en tu espacio. Pero, su espacio propuesto es de hecho el mismo que $W_0^1 \cap W^2$ que se demostró, por ejemplo aquí .