Encontrar el límite $\lim\limits_{x \to \infty} \int_0^{x} \cos\left(\dfrac{\pi t^2}{2}\right)$

Question

He mirado el gráfico y he encontrado que el límite es $\dfrac{1}{2}$

Y limitar a $-\infty$ es $-\dfrac{1}{2}$

Por cierto, la función para la que estamos encontrando el límite se llama función de Fresnel

Answer 1

La idea es combinar la hecho que $\displaystyle\int_0^\infty e^{-x^n}dx=\Big(\tfrac1n\Big)!$ con Fórmula de Euler llegando a

$\displaystyle\int_0^\infty\cos(x^n)dx=\Big(\tfrac1n\Big)!\cdot\cos\frac\pi{2n}~$ y $~\displaystyle\int_0^\infty\sin(x^n)dx=\Big(\tfrac1n\Big)!\cdot\sin\frac\pi{2n}~$ para $n>1$ . Entonces para

$n=2$ tenemos $\Big(\tfrac12\Big)!=\dfrac{\sqrt\pi}2$ y sustituyendo $u^2=\dfrac\pi2\cdot t^2$ finalmente llegamos a la deseada

resultado.