En mi copia de Table of Integrals, Series, and Products (Gradshteyn & Ryzhik), en la página 1121, dice que la transformada del seno de Fourier se define $$F_s(\xi) = \sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_0^\infty f(x)\sin(\xi x)\text{d}x.$$ Continúa diciendo que "... el conocimiento de ... $F_s(\xi)$ ... permite $f(x)$ a recuperar", y da la siguiente integral de inversión $$f(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_0^\infty F_s(\xi)\sin(\xi x)\text{d}\xi.$$ En la siguiente página se dan algunos ejemplos, así que elegí $f(x)=1/x$ . Mathematica me da $$F_s(\xi) = \sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_0^\infty \frac{\sin(\xi x)}{x}\text{d}x = \sqrt{\frac{\pi}{2}}.$$ Esto es genial ya que coincide con lo que dice el libro. A continuación, intenté invertir esto utilizando la fórmula de inversión para convencerme de que funciona. Intenté lo siguiente, $$f(x) = \sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_0^\infty\sqrt{\frac{\pi}{2}}\sin(\xi x)\text{d}\xi=\int_0^\infty\sin(\xi x)\text{d}\xi,$$ que claramente no converge (lo que confirma Mathematica)
Mi pregunta es simplemente: ¿qué es lo que no puedo ver? Uno de los pensamientos es que la tabla de transformaciones es sólo una tabla formal, pero si ese es el caso, entonces ¿cuál es el punto del ejemplo específico $f(x)=1/x$ ? O tal vez estas transformaciones simplemente no son siempre invertibles, pero se enumeran porque la transformación "hacia adelante" podría resultar útil...
