Me interesa saber qué tipo de pruebas (diferentes) de series de Eisenstein de continuación meromórfica (para subgrupos parabólicos generales) existen en la literatura. La única que entiendo bien es la prueba de Bernstein usando su "principio de continuación" (probablemente no está publicada) pero aparentemente hay muchas otras (especialmente estoy interesado en pruebas que son diferentes de la del libro de Langlands)
Respuestas
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Hans-Peter Störr
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26
Una respuesta tardía: por lo que veo, la idea de Selberg, tomada literalmente, no se aplica en absoluto en el rango racional superior a 1. Hay que tener en cuenta que Avakumovic y Roelcke tenían ideas similares, que tampoco preveían las complicaciones de un rango superior. Las 544 de Langlands (notas escritas a mediados de los 60, no publicadas hasta mediados de los 70) fueron extremadamente novedosas en su reconocimiento de las complicaciones en el rango superior, por ejemplo, las series de Eisenstein de datos cuspidales en primer lugar, y las formas automórficas residuales no constantes (por ejemplo, las formas de Speh). El argumento de Colin-de-Verdiere funciona bien en el rango 1, pero, en su forma incipiente, tiene las mismas limitaciones que el punto de vista de Selberg de los años 50. Moeglin-Waldspurger citar Langlands y otros, pero no dan pruebas de varios puntos de análisis.
Las pruebas apócrifas de Bernstein sobre la continuación meromórfica tienen fama de haber sido instanciadas el pasado otoño... pero no hay que ser demasiado optimista, dada la posibilidad de que la gente encuentre otras prioridades.
Alrededor de 2001, intenté reescribir las notas sobre la idea de Bernstein, con ayuda de las notas obtenidas gracias a Hejhal y Sarnak. Creo que es justo decir que hay varios puntos confusos, aunque otros puntos potencialmente confusos pueden ser aclarados por la "matemática estándar".
En los últimos años, ha habido interés en aplicar supuestamente el método de Bernstein [sic] a las series de Eisenstein de fecha no cuspidal... Mi reacción personal, basada en alguna experiencia, es de escepticismo.
I me gustaría ver (y puede que intente escribirlo yo mismo) pruebas reales para las series de Eisenstein de datos cuspidales. :) Una advertencia importante es que varios espacios de formas automórficas que cumplen las condiciones de crecimiento no son espacios de representación para el grupo pertinente G, por lo que el razonamiento que asume implícitamente esto es peligroso. Por supuesto, a menudo se necesita menos...
Lisa Carbone y Howard Garland han escrito recientemente algunas cosas sobre las series de Eisenstein en grupos no clásicos (por ejemplo, bucle o algo así)... que parecen tener éxito, basándose estética/moralmente en los argumentos de Bernstein-Selberg.
Si alguien quiere más información técnica sobre mi apreciación de la situación, agradezco el correo electrónico sobre la continuación meromórfica de las series de Eisenstein. :)
¡Edición (15 abril '12): [Por cierto, borrado mi comentario del año pasado sobre la falta de ortografía en la pregunta, que no pude corregir el año pasado...!] Prescindiendo de los casos relativamente especiales en los que los argumentos basados en la suma de Poisson pueden tener éxito, por lo que veo, todos los demás enfoques necesitan alguna afirmación de compacidad o de dimensión finita en algún momento crucial. (¡La forma habitual de demostrar que un espacio es finito es mostrarlo como un eigespacio no nulo para un operador compacto!) Concediendo alguna afirmación de este tipo, los restos de los argumentos son relativamente formales. Por ejemplo, dentro del argumento de Colin de Verdiere hay una afirmación esencial de compacidad tipo Rellich sobre un resolvente, en una forma debida a Faddeev-Pavlov y Lax-Phillips. Sospecho que los aspectos esenciales "confusos" o "misteriosos" de los esquemas de prueba residen en los problemas sobre este tipo de puntos. No es que se llegue a conclusiones incorrectas, sino que la complejidad del montaje suele dar la impresión de que uno ha hecho suficiente trabajo para haber completado una/la prueba, y "seguramente" una declaración de finitud "auxiliar" no debería ser crítica. Es decir, no es que varios argumentos "confusos" sean incorrecto sino, más bien, tal vez incompleto . Correctamente, en efecto, pero quizás no trivialmente.
David
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28
No estoy lo suficientemente familiarizado con las pruebas para decir si son más que superficialmente diferentes, pero aquí hay algo:
Moeglin-Waldspurger probar la continuación acreditando a Jacquet (ver p. xix), en lugar de Langlands. Dicen que es similar a la dada por Efrat en su tratamiento del modelo de Hilbert ( $PSL_2$ sobre un campo totalmente real). Aquí Jacquet atribuye la prueba de M-W a Colin de Verdière "una nueva prueba sorprendentemente breve y elegante" (de la reseña de MR) para $SL_2({\mathbb R})$ (ampliado aquí ). No pude encontrar ninguna extensión del argumento de Colin de Verdière a casos de mayor rango, pero eso puede ser porque se hizo en Moeglin-Waldspurger.
Muller también tiene una prueba en el caso de rango uno.
Wong dio una prueba utilizando ecuaciones integrales.
Todos los que figuran en la lista atribuyen sus ideas a Selberg.
Lester Cheung
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460
Encontrará pruebas de la continuación analítica (y de la ecuación funcional, ambas vienen generalmente juntas) en "Basic number theory" de Weil, "Automorphic forms and representations" de Bump, en "Séries d'Eisenstein" de Godement ( disponible aquí ), en la "Teoría elemental del $L$ -funciones y series de Eisenstein", "Holomorphic Hilbert modular forms" de Garrett y otros muchos lugares...
Stephan Aßmus
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16
Creo que en particular Erez Lapid ha hecho un buen trabajo con estas dos diapositivas
http://www.math.clemson.edu/~jimlb/ConferenceTalks/ColumbiaWorkshop2006/lapid1.pdf
http://www.math.clemson.edu/~jimlb/ConferenceTalks/ColumbiaWorkshop2006/lapid2.pdf
En la página 10 de la primera sesión de diapositivas se puede ver el principio de Bernstein, y en la página 11 una prueba del mismo. También lo ha expuesto en para $SL(2)$ en la página 9, que siempre me resulta útil antes de ver una declaración general. Las segundas diapositivas se centran en la situación de mayor rango.
Por cierto, todo el lado es genial: http://www.math.clemson.edu/~jimlb/coursenotes.html
Tal vez un comentario sobre la serie Eisenstein: Creo que al menos en un entorno de congruencia, la continuación analítica es en cierto sentido equivalente a la continuación analítica de la función L automórfica. La serie Langlands-Shahidi http://en.wikipedia.org/wiki/Langlands-Shahidi_method deduce de la continuación analítica de las series de Eisenstein la continuación analítica de los automorfos $L$ funciones. Así que cada nueva demostración de la continuación analítica de las series de Eisenstein da lugar a una nueva demostración de la continuación analítica de las funciones automórficas $L$ funciones.
