Estoy un poco atascado en este problema. Sé que desde $A$ es simétrica, $A=A^{T}$ . También estoy bastante seguro de que $AA^{T}$ es invertible. Por lo tanto, $A^2$ sería invertible. No estoy muy seguro de cómo dar cuenta de la matriz de identidad (In).
Gracias de antemano.
Para una matriz de valor real arbitraria $A$ , $A^TA$ es positivo-semidefinido por lo que todos sus valores propios son no negativos. Se deduce que todos los valores propios de $A^TA+I$ no son menos que $1$ Así que $A^TA+I$ es invertible(y positivo definido ). En particular, cuando $A$ es simétrica, $A^2+I$ es invertible (y definida positiva).
Una forma más directa es demostrar que para cualquier vector columna no nulo $v$ , $(A^TA+I)v\ne 0$ . Para ver esto, observe que para cada vector columna $w$ , $w^Tw\ge 0$ y la igualdad se mantiene si y sólo si $w=0$ . Entonces $$v^T(A^TA+I)v=(Av)^T(Av)+v^Tv>0.\tag{1}$$ $(1)$ implica que $(A^TA+I)v\ne 0$ , lo que completa la prueba. De hecho, $(1)$ también muestra que $A^TA+I$ es positiva definida.
Demuestre que la matriz A 2 + I n es invertible para todas las matrices A , donde A es una matriz simétrica n×n.
Demuestre que en otra base A 2 + I n es una matriz diagonal sin ceros en la diagonal - en otras palabras, sólo se escala o refleja como una transformación, y por lo tanto es invertible.
El teorema espectral establece que si A es simétrica, existe un C y una matriz diagonal real B tal que A \= CBC -1 . Una matriz diagonal sólo tiene valores o ceros en la diagonal. (Más información: Wikipedia ) Esa conversión es sólo entre bases. (Más información: Academia Khan )
Así que si sustituimos en que CBC -1 para A ...
A 2 + I n \= (CBC -1 ) 2 + I n \= CBC -1 CBC -1 + I n
Pero también sabemos que I n \= C -1 C = CC -1 ...así que podemos cambiar un poco esto último...
CBC -1 CBC -1 + I n \= CB I n BC -1 + CC -1 \= CBBC -1 + CC -1 \= CB 2 C -1 + CC -1
La multiplicación de matrices no es conmutativa (xy=yx), pero sí es asociativa ((xy)z=x(yz)) y distributiva (x(y+z)=xy+xz, (y+z)x=yx+zx), por lo que podemos cambiarla a otra forma.
CB 2 C -1 + CC -1 \= C(B 2 C -1 + C -1 ) = C((B 2 + I n )C -1 ) = C(B 2 + I n )C -1
¿Por qué es importante? Bueno, no hay que olvidar que B fue un diagonal ¡Matriz! B 2 va a tener números positivos en la diagonal o ceros. Como añadimos la matriz identidad I n sabemos que cada entrada de la diagonal tendrá un valor de al menos 1 (un valor distinto de cero).
Por lo tanto, esto demuestra que A 2 + I n puede expresarse como una matriz diagonal de la forma B 2 + I n en otra base donde todas las entradas diagonales son iguales o mayores que 1.
¿Qué significa "invertible"? Significa que se puede deshacer una transformación multiplicando por otra matriz. B 2 + I n es una matriz diagonal sin ceros, por lo que cada componente de un vector mutliplicado por B 2 + I n se va a ampliar de una forma u otra. En otras palabras, el vector transformado sólo será escalado hacia arriba/abajo o reflejado - en otras palabras, B 2 + I n es una transformación que se puede deshacer. Es invertible.
Bueno, eso no nos dice nada sobre A 2 + I n Se podría decir que sí. Pero, ¡espera! B 2 + I n es sólo otra forma de A 2 + I n en otra base. Se pueden convertir las transformaciones entre bases pero seguir siendo la misma transformación. Así, ( B 2 + I n ) se puede convertir de nuevo en ( A 2 + I n ). Es la misma transformación pero en diferentes bases. ( B 2 + I n ) es ( A 2 + I n ).
Por lo tanto, concluimos que A 2 + I n tiene un inverso. Por lo tanto, es invertible.
Los valores propios de la matriz simétrica son puramente reales, basta con demostrar $\det(A^2+I)\ne 0$ es decir, suficiente para demostrar que $-1$ no es un valor propio de $A^2$ , $A$ simétrico por lo que si $\lambda_i$ son valores propios, entonces $\lambda_i\in\mathbb{R}\forall i$ y los valores propios de $A^2$ será $\lambda_i^2\ge 0$ Así que, en efecto $-1$ no puede ser un valor propio de $A^2$
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