Dejemos que $K(x,y)$ sea continua en el cuadrado unitario $[0,1] \times [0,1]$ y que $\| K \| = \max | K(x,y) |$ . Para $\phi (x) \in C([0,1])$ , defina $$T\phi (x)= \int_{0}^{1}K(x,y)\phi(y)dy$$ (a) Demuestre que $T\phi \in C([0,1])$ es decir $T: C([0,1]) \to C([0,1])$ .
(b) Demuestre que T es continua mostrando que existe $C>0$ tal que $ T\phi\leq C||\phi||$ para todos $\phi \in C([0,1])$ .
(c) Si { $ \phi_{n} $ } , $ n \in (1,\infty)$ es una secuencia acotada en $C([0,1])$ , demuestre que la secuencia { $ T\phi_{n} $ } , $ n \in (1,\infty)$ tiene una subsecuencia convergente. (Un operador con esta propiedad se llama operador compacto).