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Mostrar la imagen de un operador integral es continuo

Dejemos que $K(x,y)$ sea continua en el cuadrado unitario $[0,1] \times [0,1]$ y que $\| K \| = \max | K(x,y) |$ . Para $\phi (x) \in C([0,1])$ , defina $$T\phi (x)= \int_{0}^{1}K(x,y)\phi(y)dy$$ (a) Demuestre que $T\phi \in C([0,1])$ es decir $T: C([0,1]) \to C([0,1])$ .

(b) Demuestre que T es continua mostrando que existe $C>0$ tal que $ T\phi\leq C||\phi||$ para todos $\phi \in C([0,1])$ .

(c) Si { $ \phi_{n} $ } , $ n \in (1,\infty)$ es una secuencia acotada en $C([0,1])$ , demuestre que la secuencia { $ T\phi_{n} $ } , $ n \in (1,\infty)$ tiene una subsecuencia convergente. (Un operador con esta propiedad se llama operador compacto).

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Sharkos Puntos 11597

Si no puede rellenar los detalles de lo siguiente, puede explicar lo que es difícil. Es difícil responder sin saber lo que te resulta difícil.


$$[T\phi](x+\delta) - [T\phi](x) = \int_0^1 \left[K(x+\delta,y) - K(x,y)\right] \phi(y) \,\mathrm{d}y$$

Podemos acotar fácilmente la magnitud de esta por la integral del mayor valor que puede tomar el integrando,

$$\sup_{y\in Y}| K(x+\delta,y) - K(x,y)| \times \sup_{y\in Y} |\phi(y)| \equiv f(x,\delta)$$

pero ésta es una función continua de $\delta$ como deberías ser capaz de probar, así que desde $f(x,0)=0$ hemos terminado.


Para la siguiente parte, utiliza el mismo tipo de límite para la integral que en la parte anterior, y calcula lo que $C$ es en términos de $\lVert K \rVert$ .


Finalmente, las dos formas principales de demostrar este resultado son (i) utilizando el teorema de Arzela-Ascoli; o (ii) aproximando $T$ por operadores de rango finito, es decir, sustituyendo $K$ mediante funciones de aproximación simples. Yo prefiero (i).

La única parte interesante de esto es la equicontinuidad. ¡Pero una vez más la misma desigualdad salva el día! Nótese que la $\phi_n$ -y entonces la acotación (uniforme) de la $\phi_n$ y la continuidad (uniforme) de $K$ es todo lo que necesitamos.

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Para demostrar la parte a), observe que $$|T(\phi)(x + h) - T(\phi)(x)| \le \int_0^1|k(x + h, y) - k(x,y)||\phi(y)|\ dy.$$ Ser $|k(x+h,y) - k(x,y)|\phi(y)| \le |2||K||_{\infty}||\phi||_{\infty} \in L^1([0,1])$ aplicando el teorema de convergencia dominada de Lebesgue se deduce que $T(\phi)$ es continua.

Para demostrar la parte b), observe que $T$ es lineal y que $$|T(\phi)| \le ||K||||\phi||.$$

Para probar la tercera parte debes saber que puedes aproximar $K$ con función polinómica, que los operadores integrales con núcleos polinómicos son compactos siendo de rango finito, y que el límite uniforme de los operadores compactos sigue siendo compacto. Reed ans Simon Functional Analysis es una buena referencia para esta parte.

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