Pregunta de opción múltiple sobre subgrupos característicos

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo. Un subgrupo $H$ de $G$ se llama característica si $\phi(H ) H$ para todos los automorfismos $$ of $ G$. Elige la(s) afirmación(es) verdadera(s):
(a) Todo subgrupo característico es normal.
(b) Todo subgrupo normal es característico.
(c) Si $N$ es un subgrupo normal de un grupo $G$ y $M$ es un subgrupo característico de $N$ entonces $M$ es un subgrupo normal de $G$ .

Estoy completamente atascado en él. ¿Puede alguien ayudarme a resolver el problema?

Answer 1

1) Un subgrupo es normal si se fija por conjugación. La conjugación por cualquier elemento induce un automorfismo, así que

2) ¿Puedes encontrar un subgrupo normal no fijado por un automorfismo exterior. Hazlo de forma sencilla, mira $\mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2$ .

3) Ahora $N$ se fija bajo la conjugación por $G$ y conjugando en $N$ induce un automorfismo externo que entonces fija $M$ .

Answer 2

Teorema: Sea $G=H\times K$ entonces $H\times 1$ y $1\times K$ son subgrupos normales de $G$ pero no necesariamente características en $G$ .

Tenga en cuenta que al tomar $\alpha:G\to G, \alpha(x,y)=(y,x)$ es un isomorfismo y para $x\neq 1\in H$ $(x,1)^{\alpha}=(1,x)$ que no está en $H\times 1$ . Así que la 2 no es correcta en ninguna de las condiciones. ¿1 y 3? Mira a otra respuesta.