Automorfismos en un campo $F$

Question

Estoy tratando de entender esta proposición con respecto a los cierres algebraicos de un campo $F$

Hélice: Si $F$ es un campo finito, entonces todo mapeo isomórfico $F$ en un subcampo de un cierre algebraico $\bar{F}$ de $F$ es un automorfismo de $F$

¿Significa esto que si tenemos algunos subcampos $K_i \leq \bar{F}$ (para algunos $i\geq 1$ ) tal que $\exists \Phi: F \rightarrow K_i$ un isomorfismo entonces en realidad todos estos $K_i 's = F$ y el $\Phi's$ son automorfismos.

Además, ¿cómo podemos demostrarlo? Gracias.

Answer 1

Sí, significa que para cada homomorfismo de campo $\Phi \colon F \to \overline{F}$ tenemos $\operatorname{im}\Phi = F$ .

Cada $x \in F$ satisface la relación $x^n = x$ , donde $n$ es el número de elementos de $F$ por lo que es un cero del polinomio $P(X) = X^n - X$ . El grado de $P$ es $n$ Así que $P$ tiene exactamente $n$ ceros en $\overline{F}$ (contando las multiplicidades, aunque aquí son todas $1$ ).

Pero si $\Phi \colon F\to \overline{F}$ es un homomorfismo de campo, tenemos

$$\Phi(x)^n - \Phi(x) = \Phi(x^n-x) = \Phi(0) = 0$$

por cada $x\in F$ Así que $\Phi(x)$ es un cero de $P$ por lo que es un elemento de $F$ . Como los homomorfismos de campo son siempre inyectivos, y $F$ es finito, $\Phi(F) \subset F$ implica $\Phi(F) = F$ .

Answer 2

Recuerde que los campos finitos son único hasta el isomorfismo. Esto se deduce de la unicidad de los campos de división y del hecho de que un campo finito de orden $q=p^k$ es exactamente el campo de división de $x^q-x$ (sobre $\mathbb{F}_p=\mathbb{Z}_p$ ).

Si tuviera más de una copia del campo de orden $q$ , tendrías más de $q$ raíces del polinomio $x^q-x$ (contradicción).

Así que sí su " $K_i$ "Los subcampos tendrían que ser todos iguales.

Al final, los campos finitos se parecen mucho a los grupos cíclicos (finitos) (que tienen un único subgrupo para cada orden de los divisores).

Answer 3

Esto se deduce del hecho de que el cierre algebraico de un campo finito $\mathbb F_{p^r}$ es simplemente la unión de $\mathbb F_{p^n}$ para todos $n$ . Además, si $k = \overline{\mathbb F_{p^r}}$ es este cierre algebraico entonces $\mathbb F_{p^n}$ se da exactamente como el conjunto de raíces en $k$ del polinomio $x^{p^n} - x$ .

Esto significa que en $k$ sólo hay un subcampo del tamaño $p^r$ . Un homomorfismo no nulo $\mathbb F_{p^r} \to k$ tendría como imagen un campo de tamaño $p^r$ por lo que su imagen sería $\mathbb F_{p^r}$ de nuevo.