$g(n)=\sum_{i=0}^{n-1}g(i)g(n-i-1)$ y $g(0) = 1$ , por lo que es $g(n)$ ?

Question

Tengo una ecuación que:

$g(n) = g(0)g(n-1)+g(1)g(n-2) + ... + g(n-2)g(1)+g(n-1)g(0)$

Y también sé que $g(0)=1$ .

¿Cómo puedo derivar la forma cercana de la función $g(n)$ ?

Answer 1

Si tenemos dos series de potencia $f(x) = \sum a_n x^n$ y $g(x) = \sum b_n x^n$ entonces el producto tiene la serie de potencia $f(x)g(x) = \sum c_n x^n$ donde $c_n = \sum_{i=0}^{n}a_ib_{n-i}$ . Ahora bien, si $a_n = b_n \equiv g_n$ entonces la relación definitoria de $g_n$ nos da $c_n = g_{n+1}$ .

Esto nos motiva a definir la función generadora

$$G(x) = \sum_{k=0}^\infty g_k x^k$$

desde entonces

$$G^2(x) = \sum_{k=0}^\infty a_k x^k = \sum_{k=0}^\infty g_{k+1} x^k = \frac{1}{x}(G(x) - 1)$$

lo que nos da una ecuación cuadrática para $G(x)$ con solución

$$G(x) = \frac{1 - \sqrt{1-4x}}{2x}$$

Ahora podemos volver atrás ampliando $G(x)$ en una serie de potencia utilizando $$\sqrt{1-4x} = \sum_{k=0}^{\infty}{1/2\choose k}(-4x)^k$$ y leer la expresión para $g_k$ :

$$g_k = -\frac{1}{2}{1/2 \choose k + 1}(-4)^{k+1}=\frac{1}{k+1}{2k\choose k}$$ .