Encontrar una derivada general de $(n-1)th$ orden para una función.

Question

Estaba en medio de un ejercicio, y ahora tengo que simplificar/determinar una fórmula general para la siguiente derivada:

\begin{equation*} \frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\left[(z+i)^{-n}\right] \end{equation*} Lo que he hecho: Después de dar algunos valores a $n$ noté el siguiente patrón: \begin{equation*} n =2: -2(z+i)^{-3} \\ n=3: 12(z+i)^{-5} \\ n =4: -120(z+i)^{-7} \end{equation*} Lo que me hizo escribir la siguiente fórmula general: \begin{equation*} \frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\left[(z+i)^{-n}\right] = (-1)^{n+1}(z+i)^{-(2n-1)}\prod_{k=0}^{n-2}(n+k) \end{equation*} Y aquí es donde empiezan mis problemas. Estoy teniendo problemas para demostrar esta fórmula a través de la inducción matemática y ni siquiera sé si la parte productora es correcta en absoluto (parece correcta para los casos que expuse anteriormente).

Answer 1

Para un número entero fijo $k$ es $$ \frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\left[(z+i)^{-k}\right] = (-k)(-k-1)\cdots(-k-(n-2))(z+i)^{-k-(n-1)} \\ = (-1)^{n-1}k(k+1)\cdots(k+n-2)(z+i)^{-k-n+1} $$ que se puede demostrar con la inducción sobre $n$ . Configurar $k=n$ da $$ \frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\left[(z+i)^{-n}\right] = (-1)^{n-1}n(n+1)\cdots(n+(n-2))(z+i)^{-2n+1} \, , $$ confirmando su resultado.