¿Qué hace que la Coca-Cola sea ácida?

Question

¿Qué hace que la Coca-Cola y otros refrescos sean ácidos? Estas bebidas están carbonatadas, por lo que una lata recién abierta debería tener mucho ácido carbónico disuelto, pero en los ingredientes también figura el ácido fosfórico. ¿Sería la Coca-Cola sin gas mucho menos ácida que la Coca-Cola con gas?

Answer 1

Esto se debe a que las piezas del agudo singularizan a Theta. Sea s_n la secuencia de los primeros n cardinales sobre el continuo y sea a_n el enésimo cardinal sobre el continuo. Entonces la teoría de los reales con parámetro s_n en L_{a_n+1}(R) es un conjunto de reales A_n. Son cofinales de Wadge en Theta, es decir, la secuencia no está en L(R) pero cada A_n sí y por eso se obtiene una singularización.

Answer 2

Me gusta escribirlo como $\omega_n = \frac{\pi^\frac{n}{2}}{\frac{n}{2}!}$ (He visto $\omega_n$ utilizado tanto para la medida de la bola unitaria como para la de su frontera, pero eh, tenía que ponerle algún nombre para abajo). Aunque supongo que usar la notación factorial para los no enteros no es demasiado popular.

Alternativamente, la inducción. Es cierto para $n=1$ (ya que $\Gamma(\frac{3}{2})=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ ) y $n=2$ .

Entonces:

$\omega_{n+2} = \int_{x_1^2 + \dots + x_{n+2}^2 \leq 1}dx = \int_{x_{n+1}^2+x_{n+2}^2 \leq 1}\int_{x_1^2 + \dots + x_n^2 \leq 1 - (x_{n+1}^2+x_{n+2}^2)}d(x_1,\dots,x_n)d(x_1,x_2).$

Las coordenadas polares en el plano nos dan

$\omega_{n+2} = \int_0^{2\pi}\int_0^1\sqrt{1-r^2}^n\omega_n r dr d\phi = 2\pi\omega_n \int_0^1(1-r^2)^{\frac{n}{2}}rdr = \pi\omega_n \int_0^1(1-r^2)^{\frac{n}{2}}2rdr.$

Sustituir $s=1-r^2$ y obtener

$\omega_{n+2} = \pi\omega_n\int_0^1s^\frac{n}{2}ds = \omega_n \frac{2\pi}{n+2} = \frac{\pi^\frac{n}{2}}{\frac{n}{2}!}\frac{2\pi}{n+2} = \frac{\pi^\frac{n+2}{2}}{\frac{n+2}{2}!}.$

Answer 3

Se puede hacer esto es uDig usando un estilo basado en SLD que calcula el % de opacidad usando las funciones matemáticas en la especificación del filtro OGC. No estoy seguro de lo eficiente que sería, pero sin duda podría utilizarse como prueba de concepto.

He construido una demo en http://ian01.geog.psu.edu/geoserver/www/cartogram/alphabyvalue.html con un debate en http://ian01.geog.psu.edu/geoserver_docs/cartogram/cartogram.html . Resulta que es bastante fácil.

          <PolygonSymbolizer>
            <Fill>
              <!-- CssParameters allowed are fill (the color) and fill-opacity -->
              <CssParameter name="fill">#4DFF4D</CssParameter>
              <CssParameter name="fill-opacity">
                <ogc:Div>
                  <ogc:PropertyName>PERSONS</ogc:PropertyName>
                  <ogc:Literal>30e6</ogc:Literal>
                </ogc:Div>
              </CssParameter>
            </Fill>     
          </PolygonSymbolizer>

(donde 30e6 es la población de California)