¿Para qué valor de $p$ hace $\int_{0}^{\infty} \frac{\ln(1+x^2)}{x^p}\,dx$ ¿converger?

Question

¿Para qué valor de $p$ hace $\int_{0}^{\infty} \frac{\ln(1+x^2)}{x^p}\,dx$ ¿converger?

Esta integral converge $\iff$ ambos $\int_{0}^{1} \frac{\ln(1+x^2)}{x^p}\,dx$ y $\int_{1}^{\infty} \frac{\ln(1+x^2)}{x^p}\,dx$ convergen.

Utilizando $1<\ln(1+x^2)$ para todos $x>x_0$ Lo entiendo. $\int_{1}^{\infty} \frac{\ln(1+x^2)}{x^p}\,dx$ diverge para $p\leq1$

Utilizando $\ln(1+x^2)<1+x^2$ es posible ver que $\int_{1}^{\infty} \frac{\ln(1+x^2)}{x^p}\,dx$ converge para $p>3$

A partir de este punto estoy atascado.

No nos enseñaron las desigualdades en cuanto a $\ln(x)$ excepto $\ln(x)<x$ Por lo tanto, esta es la única comparación permitida con respecto a ella (y comparándola con los números, por supuesto).

EDITAR:

Integrando $\int_{}^{} \frac{\ln(1+x^2)}{x^2}\,dx$ Veo que $\int_{1}^{\infty} \frac{\ln(1+x^2)}{x^p}\,dx$ converge para $p\geq2$ y $\int_{0}^{1} \frac{\ln(1+x^2)}{x^p}\,dx$ converge para $p\leq2$

Answer 1

Tenga en cuenta que $$\forall \alpha>0\, \exists M>0\, \forall x>M: \ln(1+x^2) < x^\alpha $$ Puedes demostrarlo considerando el límite $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\ln(1+x^2)}{x^\alpha}$ .

Así que mientras exista $\alpha>0 $ tal que la integral $\int_1^\infty\frac{x^\alpha}{x^p}dx$ converge, entonces la integral $\int_1^\infty\frac{\log(1+x^2)}{x^p}dx$ también converge. Eso te permitirá demostrar que esta integral es convergente para $p>1$ .

Para la integral $\int_0^1$ nota que $$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\ln(1+x^2)}{x^2} = 1 $$ por lo que la integral $\int_0^1\frac{\log(1+x^2)}{x^p}dx = \int_0^1\frac{\log(1+x^2)}{x^2} x^{2-p}dx $ es convergente si la integral $\int_0^1 x^{2-p} dx$ es convergente, es decir, si $p<3$ .