Prueba Verificación: el complemento ortogonal del espacio de columnas es el espacio nulo izquierdo

Question

¿Puede alguien comprobar mi prueba y mis definiciones?

Dejemos que $A \in \mathbb{R}^{n \times m}$ ser mi matriz.

El espacio nulo izquierdo de $A$ se escribe como,

$\mathcal{N}(A^\top) = \{x \in \mathbb{R}^n| A^\top x = 0\}$

El complemento ortogonal del espacio de columnas $\mathcal{C}(A)$ se escribe como,

$\mathcal{C}(A)^\perp = \{x \in \mathbb{R}^n | x^\top y = 0, \forall y \in \mathcal{C}(A)\}$

Queremos demostrar que $\mathcal{N}(A^\top) = \mathcal{C}(A)^\perp $

Primero, lo demostramos, $\mathcal{N}(A^\top) \subseteq \mathcal{C}(A)^\perp$

Dejemos que $x \in \mathcal{N}(A^\top)$ entonces $A^\top x = 0 \implies x^\top A = 0^\top \implies x^\top Av= 0^\top v, \forall v \in \mathcal{C}(A) \implies x^\top y = 0 , y = Av$ , $\implies x \in C(A)^\perp$ .

A continuación, mostramos, $\mathcal{N}(A^\top) \supseteq \mathcal{C}(A)^\perp$

Dejemos que $x \in C(A)^\perp$ entonces $x^\top y = 0$ , para todos $y \in C(A)$ . Pero $y = Av, \forall v \in \mathbb{R}^n$ . Por lo tanto, $x^\top y = x^\top Av = v^\top A^\top x.$ Para todos $v \neq 0, A^\top x = 0$ Por lo tanto $x \in \mathcal{N}(A^\top)$ .

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Estoy bastante seguro de la primera prueba. Pero la segunda prueba es un poco más difícil. ¿Puede alguien comprobarlo por mí?

Answer 1

$y \in C(A)$ significa que existe (al menos una) $v$ de dimensión adecuada, tal que $y = Av$ .

Así que podemos decir: Para $x \in C(A)^{\perp}$ entonces $x^T y = 0$ por cada $y \in C(A)$ . Para cada $y \in C(A)$ podemos expresar $y = Av$ para algunos (no cero) $v$ . Así que siempre podemos expresar $x^T y$ como $x^T Av$ . Así que $$x^T y = x^T (A v) = (x^T A) v = (A^T x)^T v = 0^T v = 0$$ para $v \neq 0$ , por lo que debemos tener $A^T x = 0$ es decir, $x \in N(A^T)$ .