Evaluar lo siguiente utilizando el cálculo de residuos:
$$I = \int_0^{2\pi} {sin^4\theta}d\theta$$
Lo he simplificado:
$$\oint_{\lvert z \rvert = 1} \frac{(z^2-1)^4}{16iz^5}$$
z= 0 es el punto singular aislado aquí. Sea $$g(z) = (z^2 -1)^4 $$ y $$h(z) = 16iz^5$$
$h(z)$ tiene un cero de orden 5 en $z = 0$
$g(z)$ y $h(z)$ son analíticas en $z = 0$ , $h(0) = 0$ , $g(0)\neq 0$
Así, $f(z)$ tiene un polo de orden 5 en $z=0$ . Entonces utiliza la fórmula:
$$Res[f(z), z_0] = \lim_{z\to 0} \frac{1}{(N-1)!}*\frac{d^(N-1)}{dz^(N-1)}[(z-z_0)^Nf(z)]$$
Sin embargo, tomando la derivada de 4º grado de $g(z)$ sobre $h(z) es súper complicado. Qué he hecho mal y hay una manera de hacerlo más limpio?
Editar:
Así que me expandí:
$$Res[f(z), 0] = \lim_{z\to 0} \frac{1}{(5-1)!}*\frac{d^4}{dz^4}[(z-0)^5*\frac{(z^2-1)^4}{16iz^5}]$$ $$Res[f(z), 0] = \lim_{z\to 0} \frac{1}{4!}*\frac{d^4}{dz^4}[z^5*\frac{(z^2-1)^4}{16iz^5}]$$ $$Res[f(z), 0] = \lim_{z\to 0} \frac{1}{384i}*\frac{d^4}{dz^4}[z^8-4z^6+6z^4-4z^2+1]$$ $$Res[f(z), 0] = \lim_{z\to 0} \frac{1}{384i}*\frac{d^3}{dz^3}[8z^7-24z^5+24z^3-8z]$$ $$Res[f(z), 0] = \lim_{z\to 0} \frac{1}{384i}*\frac{d^2}{dz^2}[56z^6-120z^4+72z^2-8]$$ $$Res[f(z), 0] = \lim_{z\to 0} \frac{1}{384i}*\frac{d}{dz}[336z^5-480z^3+144z]$$ $$Res[f(z), 0] = \lim_{z\to 0} \frac{1}{384i}*(1680z^4-1440z^2+144)$$ $$Res[f(z), 0] = \lim_{z\to 0} \frac{144}{384i} = \frac{3}{8i}$$
Así que el resultado es $\frac{3\pi}{4}$
Parece que lo he resuelto escribiendo esto. Lol.... SMH
