Valores propios y espacio propio correspondiente

Question

Sé que $$ is an eigenvalue of a square matrix $ A $ $ \iff \exists X \ne0: AX=X$

$\iff $ es una raíz del polinomio característico de $A$ .

Dada una matriz $A\in \Bbb F^{n\times n}$ , encontramos su polinomio característico y así sus valores propios.

Así que continuando con la búsqueda de los correspondientes vectores propios de un valor propio $$, descubrimos que sólo corresponde al vector cero.

¿Así que ahora debemos dejar de llamarlo valor propio?

Answer 1

No sucederá. Si $\lambda $ es una raíz del polinomio característico, entonces $\det (A-\lambda I)=0$ . Esto le dice que $A-\lambda I $ no es invertible, por lo que no puede ser inyectiva: tiene que existir un vector propio.

Answer 2

Como he explicado antes, si es una raíz del polinomio característico, entonces existe un vector propio; no importa si puedes encontrarlo o no. Sin embargo, si se puede probar que no hay ningún vector propio, entonces no puede ser una raíz del polinomio característico.

Para elevar la confusión, permítanme insinuar una prueba.

Supongamos que $\lambda$ es una raíz de $\det(A- x I)$ . Esto significa que la matriz $(A - \lambda I)$ no es invertible (porque una matriz es invertible si su determinante es distinto de cero).

Ahora es una matriz $B$ es no invertible, existe un vector no nulo $X$ tal que $BX = 0$ . ¿Puede demostrarlo?

Ahora bien, como $(A - \lambda I)$ no es invertible, existe un $X$ tal que $(A-\lambda I)X = 0 \implies AX = \lambda X$ de donde $X$ es un vector propio de $\lambda$ .