La siguiente definición procede de:
- Dmitry Roytenberg, "AKSZ-BV formalism and Courant algebroid-induced topological field theories", Cartas en Física Matemática , 2007 vol. 79 (2) pp. 143-159, MR2301393.
A colector graduado $M$ sobre la base $M_0$ es una gavilla de $\mathbb Z$ -álgebras conmutativas graduadas ${\rm C}(M)$ sobre un colector liso $M_0$ localmente isomorfo a un álgebra de la forma ${\rm C}^\infty(U) \otimes {\rm S}(V)$ donde $U \subseteq M$ es un conjunto abierto, $V$ es un espacio vectorial graduado cuya componente de grado cero $V_0$ desaparece, y ${\rm S}(V)$ es el álgebra libre conmutativa graduada en $V$ .
Es de suponer que existe una definición equivalente que incorpora los axiomas para $M_0$ para ser una variedad clásica lisa - podríamos empezar con el espacio topológico con una gavilla de álgebras de Frechet localmente isomorfa a algo.
Recordemos, por ejemplo, la pregunta de MO ¿Descripción algebraica de las variedades lisas compactas? que todas las variedades clásicas son afín en el sentido de que, aunque se presenten como gavillas, un invariante completo es el álgebra de funciones globales.
Pregunta: ¿Es cierto que el álgebra de secciones globales de la gavilla ${\rm C}(M)$ es un invariante completo? Es decir, ¿puedo recuperar una variedad graduada a partir de su álgebra de funciones globales suaves?
La pregunta de seguimiento sería describir, a semejanza de la pregunta de MO anteriormente vinculada, qué álgebras son álgebras de funciones suaves en una variedad graduada. La pregunta de seguimiento ortogonal es la misma para los "colectores dg", que son colectores graduados con un grado cuadrado cero $-1$ campo vectorial, pensado como una derivación de las álgebras de gavillas de funciones: ¿conocer la derivación en las secciones globales la determina en todas las secciones locales?
Dado que nadie ha publicado aún una respuesta, permítanme generalizar la pregunta para incluirla:
Pregunta: ¿Es la definición anterior la correcta?
Ahora permítanme motivar esta generalización. En primer lugar, la respuesta a mi pregunta original anterior es trivialmente "sí", siempre que la variedad subyacente $M_0$ se puede leer desde el álgebra, ya que entonces tendría acceso a las particiones correctas de la unidad para conseguir realmente la gavilla completa. Esto ocurre ciertamente cuando la "fibra" (cuyas funciones lineales son) $V$ sólo tiene grados positivos: entonces se recupera el colector a partir de la subálgebra de grado cero. Pero si $V$ tiene grados positivos y negativos, entonces la subálgebra de grado cero es demasiado grande. En cambio, la base $M_0$ debería recuperarse como el álgebra cociente de grado cero máximo, y tengo menos intuición sobre si tal cosa debería existir.
Pero entonces está claro que la gavilla de la definición anterior no es, en general, una gavilla de álgebras de Frechet. Por ejemplo, consideremos el espacio vectorial $\mathbb R^{1t^2 + 1t^{-2}}$ con una dimensión en grado $2$ y uno en grado $-2$ y llamar a las funciones de coordenadas $x$ y $y$ . Entonces existe un mapa cuadrático $\mathbb R^{1t^2 + 1t^{-2}} \to \mathbb R^1$ correspondiente a la subálgebra de polinomios en $xy$ y esta subálgebra de grado cero no es completa de Frechet. Más bien, para exhibir el mapa como un mapa de suave en lugar de espacios algebraicos requiere que ${\rm C^\infty}(\mathbb R^{1t^2 + 1t^{-2}})$ incluyen el álgebra de Frechet ${\rm C^\infty}(\mathbb R^1)$ como subálgebra.
¿Qué está pasando? Si añado las palabras "terminación Frechet" en el lugar correcto de la definición anterior, ¿la respuesta a la primera pregunta es "sí"?
Existe otro significado más antiguo de "afín", a saber, "que se incrusta adecuadamente en un espacio afín (de dimensión finita)". Antes de añadir este contenido extra, el título de esta pregunta incluía un paréntesis "y en qué sentido". Así que, a riesgo de hacer esta pregunta lo suficientemente larga como para que la respuesta correcta sea una buena referencia:
Pregunta: Para la definición correcta de "colector graduado", ¿es cierto que todo colector graduado se incrusta suavemente en algún espacio vectorial graduado de dimensión finita"?
