Una pregunta sobre cardenales con cofinalidad contable

Question

Esta pregunta me molesta, ya que no estoy seguro de que podamos dejar de lado el supuesto de la cofinalidad incontable:

Dejemos que $\kappa$ sea un cardinal incontable y que $x_\alpha, y_\alpha$ sean colecciones de números reales indexados por ordinales $\alpha<\kappa$ . Supongamos que

$$1\leqslant |x_\alpha + y_\alpha|$$

para todos $\alpha$ . ¿Se deduce que existe $\theta\in (0,1)$ tal que al menos uno de los conjuntos

$$\{\alpha\colon |x_\alpha| > \theta\}\text{ or }\{\alpha\colon |y_\alpha| > \theta\}$$ tiene cardinalidad $\kappa$ ?

Esto es trivial si $\operatorname{cf}(\kappa)\geqslant \omega_1$ .

Answer 1

Arregla tu positivo favorito $\theta<\frac12$ . Afirmo que su conclusión es verdadera para esta elección de $\theta$ . Para demostrarlo, supongamos que no. Entonces el número de $\alpha$ 's con $|x_\alpha|>\theta$ es algún cardenal $\lambda<\kappa$ y el número de $\alpha$ 's con $|y_\alpha|>\theta$ es algún cardenal $\mu<\kappa$ . Desde $\lambda+\mu=\max\{\lambda,\mu\}<\kappa$ Hay un $\alpha<\kappa$ de manera que ambos $|x_\alpha|$ y $|y_\alpha|$ son $<\theta$ . Pero entonces $|x_\alpha+y_\alpha|<2\theta<1$ , en contra de la hipótesis.