¿Cómo puedo calcular esta integral? $\int \cos^{2}\left(t\sqrt{x^{2}-1}\right)dx $

Question

¿Cómo puedo calcular esta integral? $$\int \cos^{2}\left(t\sqrt{x^{2}-1}\right)dx $$

Incluso cuando uso Maxima, no da resultado.

Muchas gracias.

Answer 1

Su integral está relacionada con la transformada del coseno de Fourier de $\frac{1}{\sqrt{1+x}}$ que puede calcularse mediante integrales de Fresnel, pero no es una función elemental. Por ejemplo:

$$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{M}\cos(t\sqrt{x^2-1})\,dx &=& \frac{1}{2}\int_{0}^{\sqrt{M^2-1}}\frac{\cos(tu)}{\sqrt{u+1}}\,du\\ &=& \frac{1}{2}\int_{1}^{1+\sqrt{M^2-1}}\frac{\cos(tu)\cos(t)+\sin(tu)\sin t}{\sqrt{u}}\,du\\&=&\int_{1}^{\sqrt{1+\sqrt{M^2-1}}}\cos(t)\cos(tv^2)+\sin(t)\sin(tv^2)\,dv.\end{eqnarray*}$$ Obviamente, $\cos^2(z) = \frac{1+\cos(2z)}{2}$ .