Me preguntaba si alguien puede sugerir una referencia que trate la topología de Krull. La mayoría de los libros que he encontrado no entran en ningún tipo de detalle.
Tengo entendido que la topología de Krull surge principalmente como una forma de obtener un teorema de correspondencia para infinitas extensiones de Galois. ¿Hay otros casos en los que esta topología surja de forma natural?
Cualquier indicación sobre libros o artículos será bien recibida.
Creo que lo que realmente se quiere leer, para ver las cosas en un contexto más amplio, son los grupos de profinidades. Un grupo profinito es una cierta clase de grupos compactos que incluye los grupos de Galois con su topología de Krull. Véase el capítulo 1 de "Galois Cohomology" de Serre y el capítulo 6 de "Topics in Field Theory" de Karpilovsky para una discusión de los grupos profinitos orientada al uso posterior en el entorno de la teoría de Galois infinita. También se puede consultar el tratamiento de Lenstra de los grupos profinitos en http://websites.math.leidenuniv.nl/algebra/Lenstra-Profinite.pdf .
Hay libros enteros sobre el tema de los grupos profinitos, por ejemplo, de Wilson y de Ribes y Zalesskii. Entre los grupos profinitos, los grupos pro-p desempeñan el papel básico que desempeñan los grupos p entre los grupos finitos, y el libro "Analytic pro-p Groups", de Dixon, du Sautoy, Mann y Segal, trata en profundidad una clase importante de grupos pro-p. Leer un libro entero sobre estos temas puede ser más de lo que estás dispuesto a tragar en este momento.
En cuanto a su pregunta sobre los lugares distintos de la teoría de Galois en los que surge naturalmente la topología de Krull, una pregunta más adecuada es dónde se utiliza el concepto de grupo profinito, además de en la teoría de Galois (porque la etiqueta "topología de Krull" se limita a los grupos de automorfismo de extensiones de campo). Hay aplicaciones de los grupos profinitos tanto en la teoría de números como en la teoría de grupos. Haga una búsqueda sobre el teorema de Golod-Shafarevich y sus aplicaciones.
Volviendo a los grupos de Galois y a su topología de Krull, para entender realmente lo que ocurre con esa topología, hay que estudiar detenidamente un ejemplo en el que la topología también pueda experimentarse de forma diferente. El ejemplo más importante para ello es $p$ -extensiones ciclotómicas de potencia de $\mathbf Q$ : ${\rm Gal}({\mathbf Q}(\mu_{p^\infty})/{\mathbf Q})$ es isomorfo de forma muy concreta a el grupo ${\mathbf Z}^\times_p$ de unidades en el $p$ -y, en particular, la topología de Krull en el lado de Galois coincide con la $p$ -topología de los radicales en el $p$ -ádico: dos automorfismos están próximos cuando el $p$ -las unidades de la adicción a las que corresponden son $p$ - y que se acerque a él. (Este isomorfismo generaliza el isomorfismo natural de ${\rm Gal}(\mathbf Q(\mu_{p^n}))/\mathbf Q)$ a $({\mathbf Z}/p^n{\mathbf Z})^\times$ .)
Intenta ver concretamente cómo la acción de ${\mathbf Z}_p^\times$ en $p$ -las raíces de la unidad funcionan y por qué el subgrupo $1 + p^n{\mathbf Z}_p$ en $\mathbf Z_p^\times$ corresponde al campo intermedio ${\mathbf Q}(\mu_{p^n})$ . No creo que se pueda entender realmente la teoría de Galois infinita sin entender este ejemplo básico, así que en particular si no se sabe lo que es el $p$ -los números enteros radicales-, entonces detente y aprende sobre ellos, y luego vuelve a tus estudios de topología de Krull.
Recomiendo el capítulo 8 del libro de Jacobson Álgebra Básica II como una buena referencia general para la topología de Krull y sus aplicaciones en la teoría de Galois. Como es habitual en BAI y BAII, si se leen primero otros libros, se entusiasmará con la profundidad de la cobertura de este tema.
Algunas observaciones:
1) La topología de Krull puede definirse realmente en $\operatorname{Aut}(E/F)$ para cualquier extensión de campo $E/F$ . En efecto, no es más que la topología del subespacio que hereda de la topología abierta compacta sobre el conjunto de todos los mapas de $E$ a $E$ , donde $E$ se da la topología discreta. (Extrañamente, esta topología el topología del espacio de funciones preferido en todos mis viajes matemáticos -- recibe muchos nombres en este caso. Jacobson la llama topología finita. También he oído hablar de ella como topología "hull-kernel" (¡Uf!). Si no me equivoco, siempre es totalmente desconectada y Hausdorff, pero no necesita ser compacta si $E/F$ es trascendental.
2) Ha habido algunos esfuerzos (¡incluso por mí!) para extender la teoría de Galois a extensiones de campos trascendentales. La topología de Krull aparece en el caso general, por ejemplo, en algunos trabajos de T. Soundararajan.
3) La topología de Krull es también la topología asociada al Conexión de Galois en $\operatorname{Aut}(E/F)$ De ahí que surja en el álgebra universal, la teoría del orden, la lógica matemática, etc. No sé lo suficiente sobre estos campos como para indicarte alguna aplicación especialmente interesante, pero seguro que alguien más aquí podría hacerlo.
Apéndice : Por ejemplo, aquí está uno de los documentos que tenía en mente en 2) arriba:
Soundararajan, T. Teoría de Galois para campos de extensión general. J. Reine Angew. Math. 241 1970 49--63.
El objetivo general de este trabajo es investigar exhaustivamente las correspondencias generales de Galois a nivel de campos. En concreto, el autor considera las correspondencias cuando interviene una topología sobre el grupo de automorfismos.
Dejemos que $E$ sea una extensión de un campo $K$ y $G_0$ el grupo completo de $K$ -automorfismos de $E$ . Nosotros decimos $(E/K;G_0)$ es un sistema de Galois de Krull si existe una correspondencia de Galois 1--1 entre todos los campos intermedios de $E/K$ y todos los subgrupos ``Krull-cerrados'' de $G_0$ . Es clásico que toda extensión normal algebraica separable permite una teoría de Galois de Krull. El primer teorema de este trabajo afirma lo contrario a lo anterior. El autor llama al triple $(E/K,G,\tau)$ un sistema de Galois topológico si existe una correspondencia 1--1 entre todos los campos intermedios de $E/K$ y todos $\tau$ -subgrupos cerrados de $G$ , donde $\tau$ es una topología en $G$ . El teorema 4 cataloga las condiciones de la topología $\tau$ para que $E$ pueden ser normales algebraicas separables sobre $K$ , donde $(E/K,G,\tau)$ es un sistema de Galois topológico. La siguiente sección trata de los sistemas de Galois topológicos generalizados en los que existe una correspondencia de Galois 1--1 entre todos los campos intermedios [todos $\tau$ -subgrupos cerrados de $G$ ] y algunos subgrupos de $G$ [algunos subcampos intermedios de $E/K$ ]. La última sección trata de una caracterización de la topología de Krull y concluye con el siguiente teorema: Sea $(E/K,G,\tau_1)$ sea un sistema de Galois topológico tal que $(G,\tau_1)$ es un grupo topológico compacto. Entonces $E$ es normal algebraica separable sobre $K$ , $G$ es el grupo de Galois de $E/K$ y $\tau_1$ es la topología de Krull.
Este documento se presenta con lucidez y se destaca con ejemplos ilustrativos y observaciones útiles. (Revisión de MathSciNet por N. Sankaran)
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