Probabilidad de que el último hijo sea varón

Question

Johnny tiene 4 hijos. Se sabe que tiene más hijas que hijos. Halla la probabilidad de que el último hijo sea varón.

Dejo que A sea el evento de que el último hijo sea un niño, P(A) = $\frac{1}{2}$ . y B es el caso de que tenga más hijas que hijos. Pero no estoy seguro de cómo calcular P(B) y cuáles son los pasos a seguir después.

Agradezco cualquier ayuda.

Gracias

Answer 1

Si tiene más hijas que hijos, a continuación se presentan los 5 casos posibles:

D D D D --> Todas las Hijas
S D D D --> 3 Hijas
D S D D
D D S D
D D D S

Así que la probabilidad de que el último hijo sea hijo es = 1/5.

Answer 2

El número de niñas en la familia tendría una distribución binomial, por lo que la probabilidad a priori de que haya 3 o 4 niñas en la familia sería:

$$\begin{align} \mathsf P(B) & = {4\choose 3}(\tfrac 1 2)^3(\tfrac 1 2)+{4\choose 4}(\tfrac 1 2)^4 \\ & = \frac 5{16} \end{align}$$

Ahora para la probabilidad de que el último el niño de la familia es un varón y de que haya más niñas que niños en la familia es igual a: la probabilidad a priori de que los tres primeros hijos sean niñas y el último sea un niño:

$$\begin{align} \mathsf P(A\cap B) & = \frac{1}{16} \end{align}$$

Por lo tanto, la probabilidad posterior de que el último hijo sea un niño, dado que hay más niñas que niños en la familia, es:

$$\begin{align} \mathsf P(A\mid B) & = \frac{\mathsf P(A\cap B)}{\mathsf P(B)} \\ & = {\frac 1 {16}}\bigg/\frac 5 {16} \\ & = \dfrac 1 5 \end{align}$$

Answer 3

Hay $2^4=16$ posibles permutaciones de hijos, por ejemplo, MMMM, o MFFM, o FFFM, o FFFF (aquí el orden es importante, espero que esté claro que MFFF significa que el primer hijo es varón, el segundo es mujer, y así sucesivamente) y cada una es igualmente probable. Ahora se convierte en una probabilidad condicional.

Dejemos que $A$ sea el caso de que el último hijo sea varón. Sea $B$ ser el caso de que haya más niñas que niños. La probabilidad que buscamos es $P(A|B)$ la probabilidad de $A$ dado $B$ . Esto viene dado por $$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$ donde $A\cap B$ es el evento en el que ambos $A$ y $B$ ocurrir. Veamos los términos individualmente:

• $A\cap B$ ocurre precisamente cuando Juanito tiene más hijas que hijos, y el último hijo es un varón. No es difícil ver que sólo hay una posibilidad aquí: FFFM. De ahí que $P(A\cap B)=\frac1{16}$ .
• $B$ ocurre cuando Juanito no tiene hijos (una opción, FFFF) o un hijo (cuatro opciones, MFFF, FMFF, FFMF y FFFM). Hay cinco opciones en total, por lo que $P(B)=\frac5{16}$ .

Si juntamos todo esto, obtenemos $$P(A|B)=\frac{\frac1{16}}{\frac5{16}}=\frac15$$ por lo que la probabilidad de que el último hijo de Johnny sea un varón es de una entre cinco.

Answer 4

La probabilidad de que cualquier nacimiento sea un niño o una niña NO es de 1:1 como mucha gente cree; en realidad nacen 105 niños por cada 100 niñas. Esta proporción de 1,05 se conoce como "proporción sexual secundaria". Teniendo en cuenta estas estadísticas del mundo real, hay que dar un peso de 1,05 a los cuatro escenarios que incluyen un niño y un peso de 1,00 a la posibilidad de que sólo haya niñas.

Por tanto, la respuesta sería 1,05/5,20, es decir, 21/104.

Answer 5

Recogiendo la sugerencia de Robert Israel: Si una pareja sigue teniendo hijos hasta tener al menos un niño y una niña, e ignorando los gemelos, ... es difícil.

Si tuvieron hijos hasta alcanzar su objetivo, la probabilidad es de 1/16 de que se detengan con 3 niños y 1 niña, de 1 niño y 3 niñas, de 3/4 de que se detengan con 2 o 3 niños, de 1/8 de que tengan cinco o más.

Pero es posible que aún no hayan terminado. Pueden tener cuatro hijos o cuatro hijas y estar esperando otro. Después de estar casados durante algún tiempo, existe una probabilidad p de que tengan suficiente tiempo para cuatro hijos, y una probabilidad q < p de que tengan suficiente tiempo para cinco hijos. Tanto p como q crecen con el tiempo, pero no llegan a 1.

Las probabilidades si hay cuatro hijos: p/16 para 1B + 3G, p/16 para 3B + 1G, (p - q)/16 para 4B o 4G. Como hay más niñas, p/16 para 1B + 3G y el último es un niño, (p-q)/16 para cuatro niñas. Con las probabilidades condicionales, la probabilidad de que el último sea un chico es p / (2p - q).

Dependería de la duración de la relación. Si están juntos durante cuatro años, sería bastante improbable que pudieran tener cinco hijos, (q sería pequeño comparado con p) y la probabilidad de GGGB sería sólo ligeramente mayor que la de GGGG, por lo que la probabilidad sería sólo un poco mayor que 0,5. Si están juntos durante muchos años, es poco probable que tengan GGGG y que no haya un quinto hijo, por lo que la probabilidad de que el último sea un niño se acerca más a 1.

Eso también significa que las estadísticas de los padres que viven actualmente y los datos históricos mostrarían cifras diferentes.

Obviamente, para diferentes estrategias parentales el resultado sería diferente.