Hace $\lim_{n \to \infty} \sup_{x \in X} f_n(x) = \sup_{x \in X} \lim_{n \to \infty} f_n(x)$ ?

Question

¿Puedes intercambiar límites y supremos de funciones?

Es decir, ¿se $$\lim_{n \to \infty} \sup_{x \in X} f_n(x) = \sup_{x \in X} \lim_{n \to \infty} f_n(x) ?$$

Gracias.

Answer 1

No, en general no se puede hacer eso. Imagínese que $X$ es $\mathbb{R}$ y $f_n(x)$ es cero, excepto en $[n,n+1]$ donde está $1$ . Resuelve ambos lados de la ecuación en este caso...

Answer 2

No. Considere, por ejemplo $$f_n(x) = \frac{1}{(x-n)^2+1}$$ y $X=\mathbb R$ . El supremum de cada $f_n$ (y por tanto el límite de la suprema) es $1$ pero el límite puntual en cada $x$ (y por tanto el supremum de los límites) es $0$ .

Tendrá más suerte si puede asumir que el $f_n$ s convergen uniformemente en $X$ .

Answer 3

$$f_n(x)\leq \sup_{x\in A} f_n(x) $$ $$\Rightarrow {\liminf}_{n\rightarrow \infty} f_n(x)\leq {\liminf}_{n\rightarrow \infty}\sup_{x\in A}f_n(x) $$ $$\Rightarrow \sup_{x\in A}{\liminf}_{n\rightarrow \infty} f_n(x)\leq {\liminf}_{n\rightarrow \infty}\sup_{x\in A}f_n(x) $$