Mostrar la ecuación de un círculo dado el diámetro y la geometría euclidiana

Question

Si $AB$ es el diámetro de un círculo y $P$ otro punto de la circunferencia, la geometría euclidiana nos dice que el ángulo $APB = 90$ . Utiliza este hecho para demostrar que la ecuación de una circunferencia cuyo diámetro tiene puntos extremos $A(x_1,y_1)$ y $B(x_2,y_2)$ es $(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0$ .

He intentado hacerlo con el Punto Medio y el Radio pero me he quedado atascado en medio del álgebra. ¿Es esa la forma correcta? ¿Cómo utilizo el hecho euclidiano?

Answer 1

Dejemos que $P(x,y)$ sea cualquier punto del círculo. Se demuestra fácilmente que

$$\vec{AP}=(x-x_1,y-y_1),\vec{BP}=(x-x_2,y-y_2). $$

Desde $\angle APB=\dfrac{\pi}{2}$ sabemos que $\vec{AP}\cdot\vec{BP}=0$ que es lo mismo que

$$(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0. $$

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Geométricamente, se encuentra $k_{AP}\cdot k_{BP}=-1$ cuando $\angle APB=\dfrac{\pi}{2}$ Así que

$$\dfrac{x-x_1}{y-y_1}\cdot\dfrac{x-x_2}{y-y_2}=-1, $$

que se puede simplificar al resultado anterior.