¿Cómo calcular esta probabilidad condicional en las redes bayesianas?

Question

Me encontré con un problema relacionado con la probabilidad condicional del artículo "Redes bayesianas sin lágrimas"( descargar ) en la página 3.

Según la Figura 2, el autor dice $$P(fo=yes|lo=true, hb=false)=0.5$$

Aunque no sé cómo calcularlo y obtener el resultado correcto. Adjunto la captura de pantalla de la Figura 2. del artículo. Lo he intentado de la siguiente manera $$P(fo|lo, \bar{hb})=\frac{P(lo, \bar{hb}|fo)\cdot P(fo)}{P(lo, \bar{hb})}=\frac{P(lo|fo)\cdot P(\bar{hb}|fo)\cdot P(fo)}{P(lo, \bar{hb})}$$

Y $P(lo|fo)=0.6,\ P(fo)=0.15$ pero, ¿cómo conocer los otros 3 términos?

Gracias.

P.D. Según alguna referencia tiene $$P(\mathbf{X})=\prod_{i=1}^{n}P(X_i|parents(X_i))$$ Así, $$P(fo|lo, \bar{hb})=\frac{P(lo, \bar{hb}, fo)}{P(lo, \bar{hb})}=\frac{P(fo)\cdot P(lo|fo)\cdot P(\bar{hb}|do)}{\sum_{{fo}^{'}}P(lo, \bar{hb}, {fo}^{'})}$$ $$=\frac{.15\times.6\times.3}{.15\times.6\times.3+.85\times.05\times.3}=0.6792453$$ ¿Mientras que no es igual al resultado del autor (es decir, 0,5)? ¿Qué hay de malo en mi solución?

Answer 1

Por lo general, existe un algoritmo muy eficiente llamado Belief Propagation, que da resultados exactos cuando la estructura de la red bayesiana es un árbol conectado individualmente (sólo hay un único camino entre dos vértices cualquiera en la versión no dirigida del grafo). En este caso se puede utilizar ese algoritmo para realizar una inferencia exacta.

El problema es que ese algoritmo es algo complejo, en lugar de ello, se puede utilizar directamente la definición de la Red Bayesiana también:

$$P(fo,bp,lo,do,hb) = P(fo)P(bp)P(lo|fo)P(do|fo,bp)P(hb|do)$$

Lo que quieres calcular es:

$$\dfrac{P(fo=yes,lo=true,hb=false)}{P(lo=true,hb=false)}=\dfrac{\sum_{bp}\sum_{do}P(fo)P(bp)P(lo|fo)P(do|fo,bp)P(hb|do)}{\sum_{bp}\sum_{do}\sum_{fo}P(fo)P(bp)P(lo|fo)P(do|fo,bp)P(hb|do)} = \dfrac{P(lo=true,fo=yes)\sum_{bp}P(bp)\sum_{do}P(do|fo,bp)P(hb|do)} {P(lo=true,fo=yes)\sum_{bp}P(bp)\sum_{do}P(do|fo,bp)P(hb|do) +P(lo=true,fo=no)\sum_{bp}P(bp)\sum_{do}P(do|fo,bp)P(hb|do)}$$

Esto parece complejo, pero como las variables son binarias, las sumas se hacen simplemente sobre los dos valores diferentes de la variable que estamos sumando. Las variables detrás de los signos de suma, que no se suman tienen sus valores $lo=true$ y $hb=false$ pero no los escribí para que todo fuera legible.

En general, para los grafos más complejos, este tipo de técnicas de eliminación de variables no son manejables computacionalmente, pero para los grafos más sencillos, está bien.