Dejemos que $f(x),g(x),h(x)$ son tres funciones diferenciables que satisfacen

Question

Dejemos que $f(x),g(x),h(x)$ son tres funciones diferenciables que satisfacen
$\int (f(x)+g(x))dx=\frac{x^3}3+C_1, \int(f(x)-g(x))dx=x^2-\frac{x^3}{3}+C_2$ , $\int\frac{f(x)}{h(x)}dx=-\frac1x+C_3$ .
$(1)$ El valor de $\int (f(x)+g(x)+h(x))dx$ es igual a-
$(2)$ Número de puntos de no diferenciabilidad de la función $\phi(x)=\min\{f(x),f(x)+g(x),h(x)\}$ es igual a-
$(3)$ Si el número de términos distintos en la expansión de $((1+f(x))+(\frac{f(x)+g(x)}{h(x)}))^{\sum n}$ , ( $n\in N$ ) es $31$ entonces el valor de $n$ es-

Obtenemos diferenciando las ecuaciones primera y segunda, $f(x)+g(x)=x^2\tag1$$ f(x)-g(x)=2x-x^2\tag2 $ So $ f(x)=x $ and $ g(x)=x^2-x $. And by a similar argument, $ h(x)=x^3 $. So answer to the first question is $ \frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+C$.
Para el segundo $\phi(x)=\min\{x,x^2,x^3\}$ y todas ellas son diferenciables en cada punto, y por tanto, la respuesta a la segunda pregunta es $0$ .
Para la tercera, la expresión se convierte en $(1+x+\frac1x)^{\sum n}$ pero aquí es donde me quedé atascado, así que cómo resolver esto. ¿Y mis respuestas anteriores son correctas?

Answer 1

Para la segunda parte, $x=-1,0,1$ no son diferenciables ya que el límite de la izquierda y de la derecha no son iguales.

Para la tercera parte, tienes $x^0,x^{\pm1},x^{\pm2},...,x^{\pm15}$ así que $\Sigma n=15\implies n=5$ .