Supongamos la integral de Fourier de esta función $ f(x)= \left\{\begin{matrix} 1 , \left | x \right |< 1 & \\ 0 , \left | x \right |> 1 & \end{matrix}\right. $ es esto:
$$ f(x)= \frac{2}{\pi }\int_{0}^{\infty } \frac{sin\omega}{\omega}cos\omega xd\omega $$
Calcula ahora $$ \int_{0}^{\infty }\frac{sin{x^2}}{x}dx $$
Solución:
Porque $x=0$ es un punto continuo entonces:
$$ 1=\frac{2}{\pi }\int_{0}^{\infty }\frac{sin\omega }{\omega }cos(0)d\omega \Rightarrow \int_{0}^{\infty }\frac{sin\omega }{\omega }d\omega =\frac{\pi }{2} $$ $$(1)$$
Ahora vamos a resolver la integral. si suponemos $ x^{2}=t $ entonces:
$$ x^{2}=t \Rightarrow 2xdx=dt \Rightarrow \frac{dx}{x}=\frac{dt}{2t} ,\left\{\begin{matrix} x=0 \Rightarrow t=0\\ x=\infty \Rightarrow t=\infty \end{matrix}\right. $$
Y por último:
$$ I= \int_{0}^{\infty }\frac{sint}{2t}dt=\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty }\frac{sint}{t}dt \overset{(1)}{\rightarrow} I=\frac{1}{2}\times \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{4} $$
Pregunta:
Cómo $2xdx=dt$ se convierte en $$\frac{dx}{x}=\frac{dt}{2t}$$ ?
