Asintótica de una suma de coeficientes multinomiales escalados

Question

Estoy interesado en encontrar la asintótica de lo siguiente (para $p \in [0,1]$ ) $$\sum_{k=1}^{\lfloor (n-1)/2 \rfloor} \frac{k {n-1 \choose 2k} {2k \choose k}} {4^{k}p^{k}}.$$

El coeficiente binomial central ${2k \choose k}$ es asintótica a $\frac{4^k}{\sqrt{\pi n}}$ . También el numerador contiene un producto de dos coeficientes binomiales que combinados son un único coeficiente multinomial. ¿Quizás esto sea útil? No estoy seguro de que haya un único término dominante.

Gracias por la ayuda.

Answer 1

Si sustituimos $n-1$ con $m$ (sólo para facilitar la lectura) tenemos: $$S=\sum_{k=1}^{\lfloor m/2\rfloor}k\binom{m}{2k}\frac{1}{p^k 4^k}\binom{2k}{k}=\frac{1}{2\pi}\sum_{k=0}^{\lfloor m/2\rfloor}2k\binom{m}{2k}\frac{1}{p^k}\int_{0}^{\pi}\sin^{2k}\theta\,d\theta$$ pero como: $$\sum_{j\equiv 0\!\!\pmod{\!\!2}}j\binom{m}{j}\eta^j = \frac{1}{2}\sum_{j=0}^{m}\binom{m}{j}(1+(-1)^j)\,j\,\eta^j=\frac{1}{2}m\eta\left((1+\eta)^{m-1}-(1-\eta)^{m-1}\right)$$ se deduce que: $$ S = \frac{m}{4\pi\sqrt{p}}\int_{0}^{\pi}\left(\left(1+\frac{\sin\theta}{\sqrt{p}}\right)^{m-1}-\left(1-\frac{\sin\theta}{\sqrt{p}}\right)^{m-1}\right)\sin\theta\,d\theta.$$ La última integral (puede ser calculada a través de la función hipergeométrica) es muy adecuada para ser estimada con el método del punto de silla. Basta con evaluar la función integrante y su segunda derivada en $\theta=\frac{\pi}{2}$ para conseguir que $S$ se comporta como: $$\sqrt{\frac{m}{2\pi p}}\left(1+\frac{1}{\sqrt{p}}\right)^{\frac{m}{2}}.$$