¿Existen versiones débiles del axioma de elección equivalentes a versiones débiles del lema de Zorn y principios similares?

Question

Recordé haber leído sobre otras formas más débiles de $AC$ por ejemplo, la elección contable, en la que podríamos elegir entre una secuencia $(S_{k})_{k \in \mathbb{N}}$ de conjuntos no vacíos. También he recordado la mención de la elección dependiente, por la que dada una relación $R$ en un conjunto $X$ tal que $(\forall x \in X)( \exists y \in X)(x R y)$ se puede construir una secuencia $(x_{k})_{k \in \mathbb{N}} \in X^{\mathbb{N}}$ tal que $x_{k} R x_{k + 1}$ para todos $k$ .

Mi pregunta es, ¿tiene mucha utilidad definir nociones de elección similares a la elección contable para cardinales infinitos más grandes? Por ejemplo, si $\kappa$ es un cardinal infinito, entonces tiene sentido definir $AC_{\kappa}$ diciendo que para cualquier familia $(S_{i})_{i \in I}$ de conjuntos no vacíos, donde $\mathrm{card}(I) \leq \kappa$ ? ¿O hay alguna forma análoga de definir la elección dependiente para algo "más grande" que las secuencias? Además, conozco una larga lista de resultados que son equivalentes a $AC$ por ejemplo, la existencia de un buen orden para cada conjunto, el lema de Zorn, el teorema de Tychonoff, etc.; para estas elecciones más débiles, ¿existen afirmaciones análogas que sean equivalentes a esta elección más débil, por ejemplo, existe alguna forma débil del lema de Zorns equivalente a $AC_{\kappa}$ ?

Me interesa saber "cuánto" del conjunto de resultados típicamente asociados a la elección se puede recuperar de estas formas más débiles de la misma. Por ejemplo, "cuánta" elección necesito para demostrar la existencia de un cierre único de un campo de cardinalidad $\kappa$ ? ¿Qué hay de mostrar que para un conjunto $X$ de cardinalidad infinita $\kappa$ el cierre de Kleene $X^{*} : = \bigcup_{n = 1}^{\infty} X^{n}$ de $X$ tiene cardinalidad $\kappa$ ? En otras palabras, $AC$ tiene un montón de resultados que dicen cosas como: "Para cada conjunto $X$ con esta y aquella propiedad, puede hacerlo con $X$ ", o "Para cualquier familia de conjuntos no vacíos $(X_{i})_{i \in I}$ donde todos $X_{i}$ tienen alguna propiedad, entonces $\prod_{i \in I} X_{i}$ tiene alguna propiedad". Pero supongamos que tengo mi conjunto infinito $X$ o mi conjunto infinito $I$ y quieren hacer esas mismas declaraciones. Entonces, ¿cuántas opciones podría utilizar y seguir haciendo esas afirmaciones? Por ejemplo, si tengo un conjunto $I$ y una familia $(X_{i})_{i \in I}$ de conjuntos $X_{i}$ donde cada $X_{i}$ es equitativo con $I$ Entonces, ¿qué se necesita para demostrar que $\bigcup_{i \in I} X_{i}$ es equitativo con $I$ (análogo a que la unión contable de conjuntos contables sea contable)?

Gracias.

Answer 1

La cuestión es qué se entiende por "uso". Puedes demostrar que la elección contable no implica la existencia de un conjunto no medible; pero reforzarlo a $\sf DC_{\aleph_1}$ lo hace.

La elección contable no se utiliza en absoluto en la prueba de que un producto de compactos Hausdorff espacios es compacto. Esto es, de hecho, equivalente al lema del ultrafiltro, que es consistente incluso cuando la elección contable falla estrepitosamente (en el primer modelo de Cohen el lema del ultrafiltro es verdadero, pero hay un subconjunto de $\Bbb R$ que es denso pero no tiene ningún subconjunto contablemente infinito).

Permítanme añadir un equivalente rápido para el lema de Zorn. He escrito $\sf DC_{\aleph_1}$ arriba. La elección dependiente es, de hecho, la restricción del lema de Zorn de la siguiente manera.

Dejemos que $\kappa$ sea un cardinal infinito bien ordenado. $\sf DC_\kappa$ es [equivalente a] la afirmación de que todo orden parcial $(P,\leq)$ donde cada cadena de tipo de orden $\alpha<\kappa$ tiene un límite superior, tiene un elemento maximal o una cadena de tipo de orden $\kappa$ .

(La formulación original de $\sf DC_\kappa$ debido a Azriel Levy, está diciendo exactamente que la recursión transfinita arbitraria puede ser llevada hasta $\kappa$ .)

Podemos demostrar que $\sf DC_\kappa$ implica $\sf AC_\kappa$ y que toda cardinalidad es comparable con $\kappa$ pero ninguno de ellos implica $\sf DC_\kappa$ (¡ni siquiera su conjunción! y las implicaciones entre estos dos es un poco intrincada). Así que los principios de elección dependiente son realmente los principios más fuertes. La mayoría de las veces, cuando un lego en matemáticas dice "elección contable", lo que realmente quiere decir es $\sf DC_{\aleph_0}$ que es la cantidad correcta de elección para permitir definiciones recursivas.

A su edición permítame señalar primero que si por $\kappa$ te refieres a un $\aleph$ cardenal, entonces para las cosas del hombre no se necesita elección en absoluto. Si $X$ tiene cardinalidad $\kappa$ entonces, por definición, puede estar bien ordenada, y para los ordinales podemos enumerar canónicamente las secuencias finitas y ordenarlas bien de nuevo, así que si $X$ es infinito y bien ordenable, $X^*$ también es bien ordenable, y tienen la misma cardinalidad.

Para el caso específico de los cierres algebraicos, podemos demostrar que siempre hay un cierre algebraico para un campo bien ordenable; para demostrar que es único podemos utilizar el Lema del Ultrafiltro, que significa que no hay ninguna restricción razonable de $\sf AC$ (a la $\sf AC_\kappa$ ) que es equivalente a ella por las razones que escribí anteriormente.

En general, los usos del axioma de elección son bastante ostensibles. Pueden parecer similares, y a veces se puede sustituir uno por otro, pero acaban siendo muy diferentes (de nuevo, elección contable frente a ultrafiltros). Para ver qué tipo de elección se puede recuperar de una suposición, o cuánta elección se necesita realmente para una demostración, hay que trabajar con cuidado y ver qué tipo de estructura se ha utilizado en una demostración dada, y qué tipo de propiedades y "elección" se han utilizado allí.

Por ejemplo, consideremos el teorema de Lowenheim-Skolem a la baja. Dada una estructura infinita en un lenguaje contable, tiene un submodelo elemental contable. Una investigación minuciosa de la prueba mostrará que se utiliza la elección dependiente para producir una secuencia de aproximaciones al submodelo, y una observación cuidadosa mostrará que a partir de este teorema se puede demostrar, de hecho, la propia elección dependiente.

Pero ahora sustituye contable por $\leq\kappa$ para algunos $\aleph$ número, se puede esperar que esto aparezca como $\sf DC_\kappa$ . Sin embargo, lo cierto es que las construcciones recursivas son de longitud $\omega$ , por lo que sólo se utiliza $\sf DC$ . Pero todavía se necesita más, y la parte que falta es exactamente $\sf AC_\kappa$ . Por lo tanto, el teorema L-S a la baja para el tamaño $\kappa$ es equivalente a la conjunción de $\sf DC+AC_\kappa$ . Y de nuevo, se puede probar en la otra dirección y establecer una equivalencia.

Sin embargo, no existe un método general. No hay un algoritmo general para resolver este tipo de problemas, y a menudo acaban teniendo soluciones ingeniosas y menos esperadas con resultados que no se pueden adivinar de antemano.

Permítanme terminar señalando que $\sf ZF$ demuestra que $\Bbb R$ es siempre incontable. Lo que no demuestra, que quizás es a lo que alude su profesor, es que $\Bbb R$ es no la unión contable de conjuntos contables (que pueden, a falta de elección, ser incontables).