Tengo dos secuencias de variables independientes distribuidas exponencialmente, $X_1, \ldots, X_n$ y $Y_1, \ldots, Y_n$ $$X_{i}\sim \exp(a)\\ Y_i \sim \exp(b)$$ Sin embargo, sólo tengo la diferencia de las dos secuencias $X_1-Y_1, \ldots, X_n-Y_n$ grabado. Me preguntaba si hay una manera de crear estimadores MLE para los parámetros $a$ y $b$ utilizando sólo las diferencias entre las variables?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Michael Hardy
Puntos
128804
A veces, "distribuido exponencialmente con parámetro $a$ " significa que la distribución es $e^{-ax}(a\,dx) \text{ for } x>0,$ y a veces significa $e^{-x/a} (dx/a) \text{ for } x>0.$ Por ahora asumiré lo primero. Además, supondré que las secuencias son de variables aleatorias independientes. Lo habría indicado en el problema.
Respuesta de Robert Israel a una pregunta relacionada nos dice que la densidad de $X-Y$ es $$ \frac{ab}{a+b} \begin{cases} e^{-ax}\,dx & \text{if }x>0, \\ e^{-bx} \,dx & \text{if } x<0. \end{cases} $$ La función de probabilidad es \begin{align} L(a,b) & = \left( \frac{ab}{a+b} \right)^n \left( \prod_{i\,:\,x_i \,>\,0} e^{-ax_i} \right) \left( \prod_{i\,:\,x_i\,<\,0} e^{-bx_i} \right) \\[8pt] & = \left( \frac{ab}{a+b} \right)^n \exp\left( -a \sum_{i\,:\,x_i \,>\,0} x_i - b\sum_{i\,:\,x_i \,<\,0} x_i \right). \end{align} Por lo tanto, \begin{align} & \ell(a,b) = \log L(a,b) \\[8pt] = {} & n(\log a + \log b - \log(a+b)) -a \sum_{i\,:\,x_i \,>\,0} x_i - b\sum_{i\,:\,x_i \,<\,0} x_i \\[8pt] \text{and so } & \frac{\partial\ell}{\partial a} = \frac n a - \frac n{a+b} - \sum_{i\,:\,x_i \,>\,0} x_i, \\[8pt] \text{and } & \frac{\partial\ell}{\partial b} = \frac n b - \frac n{a+b} - \sum_{i\,:\,x_i \,<\,0} x_i. \\[8pt] \end{align} Ambos son $0$ cuando $$\frac b {a(a+b)} = \overline{x}_{>0} \quad\text{and}\quad \frac a{b(a+b)} = \overline{x}_{<0} $$ donde $\overline{x}_{>0}$ y $\overline{x}_{<0}$ son, respectivamente, las medias de los positivos y los negativos $x$ -valores. Cuando no hay valores positivos $x$ -y donde no hay valores negativos $x$ -los MLEs para $a,b$ respectivamente, no están definidos.
Posiblemente, para continuar $\,\ldots$
