Si $S(n)=i^n + i^{-n}$ n es un número entero positivo, entonces el número total de valores distintos de $S(n)$ son

Question

Lo escribí en la forma $$S(n)=\frac{i^{2n}+1}{i^n}$$

$$=\frac{(-1)^n+1}{i^n}$$

Si n es impar, el valor será cero.

Si n es par entonces se convertirá en $$\frac{2}{-1}$$

Así que sólo puedo encontrar 2 valores distintos de $S(n)$ pero la respuesta dice que hay 3. ¿Cuál es el tercer valor?

Answer 1

Tenemos que

• $i^n=i,-1,-i,1,\dots$
• $i^{-n}=-i,-1,i,1,\dots$

y por lo tanto

• $S(1)=i^{1} + i^{-1}=i-i=0$
• $S(2)=i^{2} + i^{-2}=-1-1=-2$
• $S(3)=i^{3} + i^{-3}=-i+i=0$
• $S(4)=i^{4} + i^{-4}=1+1=2$
• $S(5)=i^{5} + i^{-5}=S(1)$
• $\dots$

Answer 2

Si n es par entonces se convertirá en $$\frac{2}{-1}$$

Falso. En realidad, es necesario, en este caso, mirar $n$ modulo $4$ . Esto se debe a que $i^{4k} = (-1)^4=1$ , mientras que $i^{4k+2} = i^{4k}\cdot i^2 = 1\cdot (-1) = -1$

Answer 3

$i=e^{i\pi/2}$

Utilizando Cómo demostrar la fórmula de Euler: $e^{i\varphi}=\cos(\varphi) +i\sin(\varphi)$ ?

$$S(n)=2\cos\dfrac{n\pi}2$$

Ahora bien, si $S(n)=S(n+m)$

$$2\cos\dfrac{n\pi}2=2\cos\dfrac{(m+n)\pi}2$$

$$\iff4\sin\dfrac{m\pi}4\sin\dfrac{\pi(m+2n)}4=0$$

Como $\sin\dfrac{\pi(m+2n)}4$ no es constante, $$\sin\dfrac{m\pi}4=0$$

$$\implies\dfrac{m\pi}4=r\pi\iff m=4r$$ donde $r$ es un número entero

Por lo tanto, el período fundamental de $S(n)$ es $4$

Answer 4

Puedes utilizar la identidad de Euler: $$ e^{ix} = \cos(x)+i\sin(x) $$ Dónde para $ x = \pi/2 $ se obtiene que $ i = e^{i\frac{\pi}{2}} $ . Ahora bien, de la pregunta inicial se deriva que: $$ S(n) = i^n+i^{-n} = (e^{i\frac{\pi}{2}})^n + (e^{i\frac{\pi}{2}})^{-n} = e^{i\frac{n\pi}{2}} + e^{-i\frac{n\pi}{2}} = $$ $$ = \cos(\frac{n\pi}{2}) + i\sin(\frac{n\pi}{2})+\cos(\frac{n\pi}{2}) - i\sin(\frac{n\pi}{2}) = 2\cos(\frac{n\pi}{2})$$ Y para $ n = 0,1,2 $ se obtienen los tres valores deseados $ 2,0,-2. $