Determinante Wronskiano y Dependencia Lineal

Question

Estaba tratando de mostrar que si las funciones $~f~$ y $~g~$ definido en el intervalo $~I~$ son linealmente dependientes entonces el determinante Wronskiano es cero.

Supongamos que $~f, g \in I~$ y $~f g~$ son linealmente dependientes, entonces $\forall x \in I$ existe $c_1$ y $c_2$ donde ambos son distintos de cero, de manera que

$$c_1 f(x) + c_2 g(x) =0$$

$$\Leftrightarrow c_1 f'(x) + c_2 g'(x) =0~~~~\forall ~x \in I$$

Fijar un $x_0 \in I$

WLOG, suponga $c_1 \neq 0$

$$\Leftrightarrow f(x_0)= \dfrac{-c_2}{c_1}g(x_0)$$

También $$f'(x_0) = \dfrac{-c_2}{c_1}g'(x_0)$$

Por lo tanto, el determinante puede calcularse como $~fg'(x_0)-gf'(x_0)~$ y por sustitución de $~f~$ y $~f'~$ podemos obtener que el determinante es cero para todo arbitrario $~x~$ .

Por lo tanto, el determinante Wronskiano para $~f~$ y $~g~$ son cero?

Answer 1

Hagamos la reclamación de esta manera. En primer lugar, creo que podría ver que si $W(f,g)\neq 0,~ \forall x\in I$ entonces $f$ y $g$ son linealmente independientes. Queremos demostrar que si $f$ y $g$ son linealmente independientes por lo que para todo $x\in I$ , $$W(f,g)\neq 0$$ Supongamos que $f,g$ son linealmente independientes en $I$ y para algunos $x_0\in I$ , $$W(f,g)(x_0)=0$$ Esto hace que para algunos $c_1$ y $c_2$ (que no son ambos cero): $$c_1f(x_0)+c_2g(x_0)=0$$ así que $$c_1f'(x_0)+c_2g'(x_0)=0$$ por lo que al definir $y=c_1f+c_2g$ obtenemos $y(x_0)=0,~ y(x_2)=0$ De hecho, podemos ver que $y$ es idénticamente la función cero. ¿No crees que esto viola la suposición? :-)

Answer 2

Su razonamiento es bastante bueno, pero yo sugeriría las siguientes correcciones:

• "Para todos $x \in I$ existe $c_1$ y $c_2$ donde ambos son distintos de cero, de manera que...". La afirmación correcta sería "al menos un de ellos diferente de cero".
• No es necesario arreglar un $x_0$ . Se podría decir mejor: "Asumir $c_1 \neq 0$ (el mismo razonamiento funciona suponiendo $c_2 \neq 0$ ), entonces para cada $x$ ..."