¿Son equivalentes estas fórmulas de primer orden? $$(\forall x)[(Ax \to Bx)\to(Cx \to Dx)]\tag{1}$$ $$(\forall x)(Ax \to Bx)\to (\forall x)(Cx \to Dx)\tag{2}$$ $$(\forall x)(Ax \to Bx)\to (\forall y)(Cy \to Dy)\tag{3}$$ Creo que (2) y (3) son equivalentes, pero no estoy seguro de (1).
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
He aquí un contraejemplo que demuestra que (1) no es equivalente a (2): Sea el universo $\{1,2,3,4\}$ y que $Ax$ media $x=1$ , $Bx$ media $x=2$ , $Cx$ media $x=3$ y $Dx$ media $x=4$ .
Te dejaré calcular los valores de verdad de las fórmulas en esta interpretación. Esto es bastante rápido de hacer con tablas de verdad porque el universo es pequeño y finito, y es un buen ejercicio si estas cuestiones no están claras para usted.
Además, hacer este cálculo concreto para (2) y (3) debería darte una sensación intuitiva de por qué son necesariamente equivalentes.
Graham Kemp
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$(1)$ tiene el esquema $\forall x~(\psi\to\varphi)$ mientras que $(2)$ tiene el esquema $(\forall x~\psi)\to(\forall x~\varphi)$ . Ahora bien, mientras que lo primero implica lógicamente lo segundo, lo contrario no es cierto.
Considere un universo donde $\exists x~\lnot\psi$ y $\exists x~(\psi\land\lnot\varphi)$ son hechos.
$(3)$ tiene el esquema $(\forall x~\psi)\to(\forall y~{\psi\vert}^x_y)$ . Si $y$ no se produce libremente dentro de $\psi$ entonces $(2)$ y $(3)$ serán lógicamente equivalentes.
