He demostrado que esta función no es Lispchitz continua haciendo $y = 2x$ y haciendo $x \rightarrow 0$ . Pero estoy atascado probando la continuidad uniforme.
Respuesta
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La respuesta rápida es que $f(x)=x^{1/n}$ es continua y cualquier función continua en un conjunto compacto es automáticamente continua uniforme. Sin embargo, sospecho que aún no has aprendido este teorema, así que vamos a demostrarlo de una forma más constructiva.
Tienes razón sobre $f(x)=x^{1/n}$ no siendo una función Lipschitz. Sin embargo, es una Titular continuo que es casi tan buena, es decir, tenemos $$ |f(x)-f(y)| \le C|x-y|^{1/n}. $$ ¿Puede demostrar que $C=1$ ¿funciona?
Habiendo demostrado que $f(x)$ es continua de Holder, ¿se puede concluir que es uniformemente continua?
