Clase de baile de combinatoria

Question

Tengo un problema que estoy tratando de resolver y no estoy completamente seguro de si mi respuesta es correcta, he tratado de buscarlo en la web pero no puedo encontrar un problema similar.

Estoy traduciendo la pregunta al inglés, y estoy haciendo todo lo posible para traducirla correctamente, pero lo siento si hay algunos errores gramaticales estúpidos.

"Durante una clase de baile se eligen 4 parejas (una pareja está formada por un hombre y una mujer) de entre 4 hombres y 7 mujeres. Romeo y Julieta son alumnos de esta clase, ¿cuál es la probabilidad de que ambos formen pareja?

Mi respuesta sería

$$ \frac{\binom{6}{3}3!}{ \binom{7}{4}4!} $$

Mi proceso de pensamiento es el siguiente,

Sólo hay una posibilidad de elegir a Roma y Julieta, y una posibilidad de elegir a los 3 hombres, así que no las escribo. Pero hay 6C3 formas posibles de elegir a las 3 mujeres que quedan, y 3! posibilidades de asignarlas a los 3 hombres.

¡Y hay 7C4 maneras de elegir a las 4 mujeres en total y luego 4! Formas de formar diferentes parejas.

¿Es esto correcto? Y si no es así, ¿en qué me he equivocado?

Muchas gracias por leer esto y ayudarme

Ps

Intenté escribirlo en mathjax pero no tuve mucho éxito con eso - lo siento

Answer 1

Sí, su razonamiento es correcto.

Repitiendo su argumento . . .

Hay ${\large{\binom{7}{4}}}4!$ posibles resultados para la selección de $4$ parejas de baile.

Explicación:

• Hay ${\large{\binom{7}{4}}}$ posibles opciones para el $4$ mujeres. $\\[4pt]$
• Una vez que el $4$ las mujeres son elegidas, hay $4!$ formas de emparejarlos con los $4$ hombres.

Hay ${\large{\binom{6}{3}}}3!$ posibles resultados para la selección de $4$ parejas de baile de manera que Romeo esté emparejado con Julieta.

Explicación:

• Hay ${\large{\binom{6}{3}}}$ posibles opciones para el $3$ mujeres que no sean Julieta. $\\[4pt]$
• Una vez que esos $3$ las mujeres son elegidas, hay $3!$ formas de emparejarlos con los $3$ hombres que no sean Romeo.

Por lo tanto, la probabilidad de que Romeo esté emparejado con Julieta es $$\frac{\binom{6}{3}3!}{\binom{7}{4}4!}=\frac{1}{7}$$

Así que ese era tu argumento, y está bien, pero la respuesta se puede encontrar de una manera mucho más sencilla .

Después de todo, Romeo estará emparejado con algunos mujer, y no hay ningún sesgo, por lo tanto, ya que hay $7$ mujeres, la probabilidad de que Romeo esté emparejado con Julieta es ${\large{\frac{1}{7}}}$ .