Resolver la SDE $d X_{t}=X_{t} B_{t} d t-X_{t} d B_{t}$

Question

No estoy seguro de mi intento hasta ahora, ya que me encontré con un obstáculo:

dejar $Y_{t}=X_{t} B_{t}$ entonces $d Y_{t}= B_{t}dX_{t}+X_{t}d B_{t}+ d B_{t} d X_{t}$

Sustituyendo $dX_{t}$ nos encontramos con que:

$dY_{t}=B_{t}\left(X_{t} B_{t} d t-X_{t} d B_{t}\right)+ X_{t} d B_{t}+ d B_{t}\left(X_{t} B_{t} d t-X_{t} d B_{t}\right)$

$d B_{t} d t=0 \quad$ y $\quad d B_{t} d B_{t}=d t$

$d Y_{t}=X_{t} B_{t}^{2} d t-X_{t} B_{t} d B_{t}+X_{t} d B_{t}-X_{t} d t$

$d Y_{t}=X_{t}\left(B_{t}^{2}-1\right) d t-X_{t}\left(B_{t}-1\right) d B_{t}$

No estoy seguro de cómo proceder ahora.

Segundo intento

Mientras esperaba la respuesta de alguien, intenté un enfoque diferente:

$d X_{t}=X_{t} B_{t} d t-X_{t} d B_{t}$

$d X_{t}=X_{t}\left(B_{t} d t-d B_{t}\right)$

Dejemos que $d Y_{t} = \left(B_{t} d t-d B_{t}\right)$

$d Y_{t}$ es el proceso de OU, por lo que $Y_t$ es $Y_{t}=Y_{0} e^{t} - \int_{0}^{t} e^{(t-s)} d B_{s}$

Esto hace que $d X_{t}= - X_{t} dY_t$ donde $X_{t}$ es la exponencial estocástica de Y.

Por lo tanto: $X_{t} = X_0e^{Y_t}$ y ${Y_t}$ es $Y_{0} e^{t} - \int_{0}^{t} e^{(t-s)} d B_{s}$ .

¿Estoy en lo cierto?

Answer 1

Esto es similar a un movimiento browniano geométrico. T $Y_t=\ln(X_t)$ (siempre y cuando $X_t>0$ ). Entonces $$ dY_t=\frac1{X_t}(X_tB_tdt−X_tdB_t)-\frac1{2X_t^2}X_t^2dt=(B_t-\tfrac12)\,dt-dB_t. $$ Esto se integra en $$ Y_t=Y_0-\frac12t-B_t+\int_0^tB_s\,ds=Y_0-\frac12t+\int_0^t(t-s-1)\,dB_s $$