Comprender la $\sigma(X^{\ast\ast},X^\ast)$ topología

Question

Estoy tratando de demostrar que

$X$ un espacio de Banach, es denso en su bidual $X^{\ast \ast}$ con respecto a la $\sigma(X^{\ast\ast},X^\ast)$ topología.

Me gustaría recibir ayuda. En particular, sé que el $\sigma(X^{\ast\ast},X^\ast)$ topología es la más débil en $X^{\ast \ast}$ tal que todos los elementos de $X^\ast$ son continuas. También sé que $X$ se puede incrustar isométricamente en $X^{\ast \ast}$ por el mapa $J$ definido por $(Jx)(\phi) = \phi(x)$ para $x \in X$ y $\phi \in X^\ast$ . ¿Cómo conecto estas piezas?

Answer 1

Esta afirmación se conoce como "teorema de Goldstine": La imagen del $X$ -bola de la unidad $B$ bajo el mapa de evaluación canónica $J \colon X \rightarrow X''$ es débil*-denso en la bola unitaria cerrada $B''$ de $X''$ .

Tienes que demostrar que para $x'' \in X''$ y cualquier conjunto débil*-abierto $U''$ con $x'' \in U''$ existe $x \in B$ con $J(x) \in U$ . Basta con considerar los conjuntos abiertos dados por algunos $x_1',\ldots,x_n' \in X'$ es decir $$U''= \cap_{k=1}^n \{y'': |y''(x'_k)-x''(x'_k)| < 1\}.$$

• El siguiente paso es demostrar que podemos suponer que $x_1',\ldots,x_n'$ son linealmente independientes.
• Utiliza eso $x \mapsto (x_1'(x),\ldots,x_n'(x))$ es suryente hacia $\mathbb{R}^n$ si $x_1',\ldots,x_n'$ son linealmente independientes.