Soluciones integrales positivas $(m,n)$ a $m = n^m$

Question

¿Existen soluciones integrales positivas $(m,n)$ a la ecuación diofática $n=m^{n}$ además de $(m,n)=(1,1)$ ? No estoy seguro de cómo enfocar esta pregunta. La solución (obvia) la obtuve adivinando. Parece claro que $m\leq{n}$ .

Answer 1

$$m=1^m$$ tiene la única (y obvia) solución $m=1$ .

No hay otras soluciones al problema inicial, ya que

$$m<2^m<3^m<\cdots$$

[Por inducción, $1<2^1$ y $m<2^m\implies m+1<2m<2^{m+1}$ .]

Answer 2

No, no hay otras soluciones integrales positivas excepto la que ya has adivinado. Para esta solución, yo sustituiría (n,m) por (x,y) (ya que me siento cómodo resolviendo con esas variables)

$\implies$$ x=y^{x}$

$\implies y=x^{1/x}$

Al diferenciar la expresión,te darás cuenta de que el valor máximo de la expresión está en $e$ que es $e^{1/e}$ . Puede demostrar que $e^{1/e}<2$ desde $\frac{1}{e} (0.37)< ln(2) {0.69}$ .

Como, se puede observar que el único valor integral que puede ser y es 1. Por lo tanto la única solución integral positiva es (1,1).