diagonal de valores propios

Question

Supongamos que $B$ es un elemento de $M_n(F)$ y que cada vector de la base estándar es un vector propio de $B$ . Demostrar que $B$ es una matriz diagonal.

Sé que la idea básica consiste en demostrar que $\lambda e_j$ no puede tener valores distintos de cero fuera de la $j$ la fila y que $A e_j$ lo satisface si y sólo si $A$ es diagonal. ¿Cómo podría plantear esto formalmente?

Answer 1

$B_{ij} = e_i^TBe_j$ .

Si $Be_j = \lambda_je_j$ entonces $B_{ij} = \lambda_j e_i^Te_j$ .