1 votos

Prueba con el teorema de Lagrange

El ejercicio es:

Demuestre, utilizando el teorema de Lagrange, que para $x \in [0, +\infty] $ tenemos $ \frac{x}{1+x^2} \leq \arctan(x)$ .

Sé cómo aplicar el teorema de Lagrange pero mi problema es encontrar una función para aplicarlo.

Pensé en $f(x)= \arctan (x) $ pero parece que no funciona.

¿Puede alguien dar una pista, por favor?

Gracias.

0voto

Dr. MV Puntos 34555

Dejemos que $f(x)=\arctan(x)-\frac{x}{1+x^2}$ . Tenga en cuenta que $f(0)=0$ y

$$f'(x)=\frac{2x^2}{(1+x^2)^2}\ge 0$$

A partir del teorema del valor medio, existe un número $\xi\in (0,x)$ tal que

$$\begin{align} f(x)&=f(0)+f'(\xi)x\\\\ &=\frac{2\xi^2}{(1+\xi^2)^2}x\\\\ &\ge 0 \end{align}$$

¡Y ya está!


He pensado que podría ser instructivo presentar un enfoque que no se basa en el cálculo diferencial, sino en unas desigualdades elementales de la geometría. En ESTA RESPUESTA He demostrado utilizando sólo las desigualdades

$$x\cos(x)\le \sin(x)\le x$$

para $x>0$ que la función arctangente satisface las desigualdades

$$\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\le \arctan(x)\le x \tag 1$$

Desde $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\ge \frac{1}{1+x^2}$ , entonces también vemos de $(1)$ que

$$\arctan(x)\ge \frac{x}{1+x^2} \tag 2$$

para $x>0$ . Por lo tanto, $(1)$ en realidad proporciona un límite inferior más ajustado que $(2)$ para el arctangente.

0voto

Med Puntos 53

Tome su función $f(x)=\arctan(x)$ . La derivada es $\frac{1}{1+x^2}$ .

Ahora utilice el teorema de Lagrange para dos puntos $0,x$ cuando $x>0$ .

$$\frac{\arctan(x)-\arctan(0)}{x-0}=\frac{1}{1+x_0^2}$$

$x_0$ es un número real entre $0$ y $x$ .

Reescribiendo el último resultado, obtenemos:

$\arctan(x)-\arctan(0)=\frac{x}{1+x_0^2}$

Es el momento de convertir la igualdad en una desigualdad sustituyendo $x_0$ con $x$ . Sabiendo que $x>x_0$ , hemos reducido el valor de la fracción al hacer la sustitución y en consecuencia obtenemos:

$\arctan(x)\geqslant\frac{x}{1+x^2}$

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X