Dejemos que $f(x)=\arctan(x)-\frac{x}{1+x^2}$ . Tenga en cuenta que $f(0)=0$ y
$$f'(x)=\frac{2x^2}{(1+x^2)^2}\ge 0$$
A partir del teorema del valor medio, existe un número $\xi\in (0,x)$ tal que
$$\begin{align} f(x)&=f(0)+f'(\xi)x\\\\ &=\frac{2\xi^2}{(1+\xi^2)^2}x\\\\ &\ge 0 \end{align}$$
¡Y ya está!
He pensado que podría ser instructivo presentar un enfoque que no se basa en el cálculo diferencial, sino en unas desigualdades elementales de la geometría. En ESTA RESPUESTA He demostrado utilizando sólo las desigualdades
$$x\cos(x)\le \sin(x)\le x$$
para $x>0$ que la función arctangente satisface las desigualdades
$$\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\le \arctan(x)\le x \tag 1$$
Desde $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\ge \frac{1}{1+x^2}$ , entonces también vemos de $(1)$ que
$$\arctan(x)\ge \frac{x}{1+x^2} \tag 2$$
para $x>0$ . Por lo tanto, $(1)$ en realidad proporciona un límite inferior más ajustado que $(2)$ para el arctangente.