La definición del valor absoluto

Question

El valor absoluto puede definirse de muchas maneras, pero éstas son las dos más comunes:

1. Como función a trozos

$$ |x|= \begin{cases} -x&\text{if } x < 0\\ x&\text{if } x\geq 0 \end{cases} $$

2. Como el principio de la raíz cuadrada de un cuadrado

$$|x| = \sqrt{x^2}$$

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En la segunda definición que he incluido aquí, ¿qué nos impide hacer lo siguiente y llegar a una contradicción?

$$|x| = (x^{2})^{\frac{1}{2}} = x \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{Contradiction}$$

Asimismo, si tengo $f(x) = \ln(|x|)$ , ¿cuál es la razón por la que no se puede llegar a la siguiente contradicción :

$$f(x) = \ln(|x|)$$ $$\implies f(x)=\ln(\sqrt{x^2})$$ $$\implies f(x) = \ln[(x^2)^{\frac{1}{2}}]$$ $$\implies f(x) = \frac{1}{2}\ln(x^2)$$ $$\implies f(x) = \frac{1}{2} \cdot 2 \ \ln(x)$$ $$\implies f(x) = \ln(x) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{Contradiction}$$

Answer 1

$\sqrt{x^2} = (x^2)^{\frac{1}{2}}=x$ Sólo cuando $x>0$ en caso contrario, es igual a $-x$ .

Esto se debe a que para cualquier $x>0$ , $|x|=x$ y para cualquier $x<0$ , $ |x|=-x$

Por lo tanto, no se llega a ninguna contradicción.

Answer 2

Porque $(x^2)^{1/2}$ no es en general igual a $x$ . La operación de cuadratura perdió la información sobre el signo de $x$ .

Con el ejemplo del registro, es porque necesita elegir una rama .

Answer 3

¿Qué nos impide decir $|x|= (x^2)^{1/2}= x$ ¡es que la segunda igualdad simplemente NO es cierta! $a^{1/2}$ se define como "la positivo número $x$ tal que $x^2= a$ ". En particular, si $x= -2$ entonces $x^2= (-2)^2= 4$ y luego $((-2)^2)^{1/2}= 4^{1/2}= 2$ , no $-2$ .

Answer 4

En primer lugar, quiero dar las gracias a todos por sus respuestas aquí, pero me pareció que esta era la respuesta más general después de pensar en esta pregunta durante un tiempo.

$$(a^{n})^{\frac{1}{n}} = a \ \ ,\ \text{if} \ \ n \ \ \text{is odd}$$ $$(a^{n})^{\frac{1}{n}} = |a|\ \ ,\ \text{if} \ \ n \ \ \text{is even}$$

Dicho de manera un poco más formal:

$$(a^{2n+1})^{\frac{1}{2n+1}} = a \ \ ,\ \forall n\in\mathbb{Z}$$ $$(a^{2n})^{\frac{1}{2n}} = |a|\ \ ,\ \forall n\in\mathbb{Z}$$

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Parte de esta respuesta y de la intuición desarrollada tras ella proceden de Notas en línea de Paul por lo que todo el crédito debe ir a ese sitio.