Subconjuntos parciales de un conjunto dado: solicitud de referencia

Question

Dado un conjunto o espacio X una función característica en X es una función cuyo dominio es X y cuyo valor es 0 o 1. Los subconjuntos de X pueden tomarse como definidas por funciones características sobre X .

Se suele suponer que las funciones características son totales, es decir, definidas para cada miembro x de X . Pero también hay funciones parciales con dominio de X y rango de {0,1}. Pueden considerarse como subconjuntos definitorios de X que podrían llamarse "subconjuntos parciales".

Hay indicios de este tipo de cosas en, por ejemplo, el capítulo 7 del texto de Shoenfield Lógica matemática . Sin embargo, no conozco ninguna exploración en profundidad de los subconjuntos parciales, y agradecería que me informaran de alguna que conozcan.

Answer 1

En la teoría de la computabilidad, la distinción generalizada entre un decidible computacionalmente y un enumerable computacionalmente conjunto está exactamente relacionado con el concepto que usted menciona, a saber,

• Un conjunto $A\subset\mathbb{N}$ es decidible computacionalmente si la función característica de $A$ es una función computable.

• El conjunto $A$ es simplemente enumerable computacionalmente Sin embargo, si la función parcial $1\upharpoonright A$ que tiene un valor constante $1$ en el dominio $A$ es computable. Equivalentemente, $A$ es enumerable si existe alguna función de subconjunto parcial computable, en su terminología, que incluya $A$ en su dominio y es correcto para $A$ en su dominio.

La cuestión es que no toda función parcial computable puede extenderse a una función total computable.

En la teoría de conjuntos, a menudo se considera el concepto de subconjunto parcial que usted menciona en relación con el forzamiento. Por ejemplo, el orden parcial de todos los subconjuntos parciales finitos de $\mathbb{N}$ ordenado por extensión, es exactamente el forzamiento para añadir un real de Cohen. La idea es que la información parcial sobre el subconjunto genérico puede ser especificada por un trozo finito del mismo, y continuada de diversas maneras. Otras nociones de forzamiento también utilizan funciones parciales de este modo, para permitir que una condición de forzamiento especifique información parcial sobre el objeto genérico, a menudo en combinación con otros requisitos complicados sobre el dominio o el soporte de las condiciones.