¿Cómo evaluar una suma que contiene variables límite?

Question

¿Cómo evaluar una suma que contiene variables límite?

Por ejemplo: $$\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n\frac{n-1}n\frac{1+i(n-1)}n $$

¿Y el resultado sería necesariamente racional, porque cada término parece ser la multiplicación de dos fracciones racionales?

Answer 1

Observa que en la suma, cada pieza tiene un factor común de $\frac{n-1}{n^2}$ que se puede sacar de la suma según la propiedad distributiva ya que no depende del índice, $i$ .

$$\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{i=1}^n \frac{n-1}{n}\frac{1+i(n-1)}{n} = \lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n-1}{n^2}\left(\sum\limits_{i=1}^n 1+i(n-1)\right)\right)$$

Ahora, lo que queda en la suma se puede dividir en dos sumas separadas con la de la derecha que vuelve a tener un factor común de $(n-1)$ presente que puede ser llevado al exterior.

$$=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n-1}{n^2}\left(\sum\limits_{i=1}^n 1\right)+\frac{(n-1)^2}{n^2}\left(\sum\limits_{i=1}^ni\right)\right)$$

La suma de la izquierda es igual a $n$ ya que hay $n$ ocurrencias de la adición $1$ juntos, y la suma correcta es la $n$ número de triángulo, dado por $\frac{n(n+1)}{2}$

$$=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n-1}{n^2}(n)+\frac{(n-1)^2}{n^2}\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)\right)$$

Espero que puedas seguir adelante.

Answer 2

\begin{align} S_n &= \frac{n-1}{n}\left(\frac{1}{n} n + \frac{n-1}{n} \frac{n(n+1)}{2}\right)\\ &= \frac{n-1}{n}\left( 1 + \frac{n^2-1}{2}\right) \end{align} Esto parece ir hacia $\infty$ .

Answer 3

El enfoque general para evaluar estos límites de las sumas es el siguiente. Digamos que estamos considerando $$ \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{f(n)}g(n)\approx \lim_{n\to\infty}\int_0^{f(n)}g(x)\ dx. $$ Para cualquier función razonable $f$ y $g$ , puede hacer que el $\approx$ rigurosa utilizando sumas de Riemann para la integral. Entonces utilizamos algo llamado función característica: $$ \lim_{n\to\infty}\int_0^{f(n)}g(x)\ dx=\lim_{n\to\infty}\int_0^{\infty}\chi_{[0,f(n)]}g(x)\ dx. $$ Digamos que $\lim_{n\to\infty}f(n)=L$ . Entonces podemos pasar el límite dentro de la integral para obtener $$ \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{f(n)}g(n)\approx \int_0^{\infty}\chi_{[0,L]}g(x)\ dx. $$ Tenga en cuenta que hay algunas hipótesis más sobre $g$ necesario para pasar el límite en el interior. La integral resultante puede calcularse utilizando la integración por partes si es necesario (por ejemplo, si no hay una forma cerrada antiderivada para $g(x)$ ).

Si tiene otros ejemplos específicos, podría dar una respuesta más concreta.